分治法上机实践报告

题目：

最大子列和问题

问题描述：

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：102个随机整数；
• 数据3：103个随机整数；
• 数据4：104个随机整数；
• 数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6

-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

 

算法描述：

本题采用分治法的思想，将原问题一分为二，分别求取左子列和右子列的最大子列和，另外，还有一种比较特殊的情况，就是可能所求的子列横跨中间元素，这种情况要单独拿出来讨论。

最后比较三者的值，返回其最大值。

 

算法时间及空间复杂度分析：

#include <iostream>
 using namespace std;
 
 void input(int a[],int num)
 {
     for(int i=0;i<num;i++)
     cin >> a[i];
 }
 
 int compare(int lmax,int rmax,int mmax)
 {
     int max=0;
     if(lmax>=rmax && lmax>=mmax) max=lmax;
     else if(rmax>=lmax && rmax>=mmax) max=rmax;
     else max=mmax;
     return max;
 }
 
 int maxsum(int a[], int left, int right)
 {
     //if(left>right) return 0;
     if(left==right)
     {
         if(a[left]>0) return a[left];
         else return 0;
     }
     int mid=(left+right)/2;
     int lmax=maxsum(a,left,mid);
     int rmax=maxsum(a,mid+1,right);
     int lmmax=0;
     int lsum=0;
     for(int i=mid;i>=left;i--)
     {
         lsum+=a[i];
        if(lsum>lmmax) lmmax=lsum; 
     }
     int rmmax=0;
     int rsum=0;
     for(int i=mid+1;i<=right;i++)
     {
         rsum+=a[i];
        if(rsum>rmmax) rmmax=rsum; 
     }
     
     int mmax=lmmax+rmmax;
     return compare(lmax,rmax,mmax);
 }
 
 int main()
 {
     int num;
     cin >> num;
     int *a=new int[num+1];
     input(a,num);
     cout << maxsum(a,0,num-1);
     delete []a;
     return 0;
 }

时间复杂度：该算法的时间分为分治求左右子列和与跨越中间元素的子列的和。其中，分治的问题规模为原问题的一半，则时间复杂度为2T（n/2）,后者从中间元素出发，分别扫描左右两边的数，故时间复杂度为O（n）.根据主定理T（n）=2T（n/2）+O（n）=O（n log n）。

空间复杂度：该算法只用到了辅助变量，故空间复杂度为O（1）。

 

心得体会：

我觉得分治法的难点在于找到问题规模最小到能求解的情况，并且在写递归函数的时候很容易绕晕。通过本题的练习，更加清晰地理解了分治法的思想。另外，与同伴的结对编程小笼包有所提高。