[ARC146C] Even XOR

题意

问有多少个由 \([0, 2 ^ n - 1]\) 的整数组成的集合 \(S\) 的所有 非空 子集 \(T\) 满足：

• \(T\) 中的元素数量为奇数或 \(T\) 中元素的异或和不为 \(0\)。

Sol

考虑一个满足条件的集合 \(S\) 可以满足什么性质。

注意到对于一个大小为 \(n\) 的集合 \(S\)，她的奇数大小的子集个数为 \(2 ^ {n - 1}\)，偶数大小的子集个数为 \(2 ^ {n - 1}\)。

对于满足条件的集合 \(S\)，她的所有的奇数子集的异或和两两不同。

若有两个奇数子集的异或和相同，则将这两个子集合并，将相同的元素去掉，新子集大小为偶数且异或和为 \(0\)，因此不满足限制。

由于不同的奇数子集的个数有 \(2 ^ {n - 1}\) 个，而整数只有 \(2 ^ n\) 个，因此 \(|S| \le n + 1\)。

设 \(f_i\) 表示当前集合的大小 \(i\) 的方案数。

• \(f_i = f_{i - 1} \times (2 ^ n - 2 ^ {i - 2}) \times \frac{1}{i}\)。

\(2 ^ {i - 2}\) 表示前一个集合的奇数子集个数，由于每次选择下一个数最终是一个排列，所以转移的时候除以 \(i\)。

复杂度：\(O(n)\)。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
    int p = 0, flg = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') flg = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return p * flg;
}
void write(int x) {
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
bool _stmer;

const int N = 1e5 + 5, mod = 998244353;

int pow_(int x, int k, int p) {
    int ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = 1ll * ans * x % p;
        x = 1ll * x * x % p;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

void Mod(int &x) {
    if (x >= mod) x -= mod;
    if (x < 0) x += mod;
}

array <int, N> f;

bool _edmer;
int main() {
    cerr << (&_stmer - &_edmer) / 1024.0 / 1024.0 << "MB\n";
    int n = read();
    f[0] = 1, f[1] = pow_(2, n, mod);
    int ans = f[0] + f[1]; Mod(ans);
    for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
        f[i] = 1ll * f[i - 1] * (pow_(2, n, mod) - pow_(2, i - 2, mod) + mod) % mod * pow_(i, mod - 2, mod) % mod, ans += f[i], Mod(ans);
    write(ans), puts("");
    return 0;
}