[ARC108D] AB

题意

每次操作可以：

• 若 \(s_i = A\) 且 \(s_i + 1 = A\)，则插入字母 \(c_{AA}\)。
• 若 \(s_i = A\) 且 \(s_i + 1 = B\)，则插入字母 \(c_{AB}\)。
• 若 \(s_i = B\) 且 \(s_i + 1 = A\)，则插入字母 \(c_{BA}\)。
• 若 \(s_i = B\) 且 \(s_i + 1 = B\)，则插入字母 \(c_{BB}\)。

初始 \(s = AB\)，求 \(n - 2\) 次操作后 \(s\) 的方案数。

\(n \le 10 ^ 3\)。

Sol

注意到 \(s\) 的初值很特殊，只能进行一次 \(AB\) 操作。

分类讨论，若 \(AB = B, BB = B\) 那么显然字符串只会有一种情况。

若 \(AB = B, BB = A, BA = B\)，考虑添加的过程，发现要么在字符串左边添加一个 \(B\)，要么添加一个 \(BA\)，因此 \(f_i = f_{i - 1} + f_{i - 2}\)。

若 \(AB = B, BB = A, BA = A\)，同理，发现要么添加一个 \(A\)，要么添加一个 \(B\)，因此答案为 \(2 ^ {n - 3}\)。

当 \(AB = A\) 时同理，做完了。