[AGC004D] Teleporter

题意#

给定一张 $n$ 个点的有向图，每个点都有一条出边。

初始保证所有点都能走到 $1$。

你需要重新规划最少的出边，使得最终每个节点都存在一条长度为 $k$ 的路径走到节点 $1$。

$n \le 10 ^ 6$

Sol#

显然给定的图为一棵基环树。

对环与树分类讨论。

首先注意到每个点都能走到 $1$，说明 $1$ 一定在环上。

注意到若想使得环上所有点都满足条件，一个一定不劣的操作是将 $1$ 连成自环。

可以考虑若 $1$ 不为自环，且 $k \ge 2$，则在环上距离 $1$ 不超过 $k$ 的节点是无法走 $k$ 的路径到达 $1$ 的。

将 $1$ 的出边断开，题目变成在一棵树上选择若干节点连到根，使得深度不超过 $k$。

考虑从下至上的贪心，容易发现，若当前有一节点 $u$，使得 $v \in subtree(u)$，$dis(u, v) = k$ 时，选择当前的 $u$ 一定最优因为显然选择 $son_u$ 不会比选择 $u$ 更优。

ro