CF1733E Conveyor

题意#

给定一个 $120$ 行 $120$ 列的棋盘。

一开始 $(0, 0)$ 有一个史莱姆，每个地方有一个箭头，最初全部指右。

每一秒做一下过程：

• 每一个史莱姆朝所在箭头方向移动一格，如果在棋盘之外，则移除该史莱姆，如果两个史莱姆走到了一个格子之上，合并为一个史莱姆。

• 所有史莱姆前一秒所在的格子的箭头方向改变，向右改为向下，向下改为向右。

• 在 $(0, 0)$ 新增一个史莱姆。

$q$ 次询问，每次询问 $t$ 时刻点 $(x, y)$ 是否有史莱姆。

Sol#

注意到无论如何都不会出现合并史莱姆的情况，因为若当前 $(x, y)$ 有一个史莱姆，那么该史莱姆一定是在 $t - (x + y + 1)$ 时出现的。

对于每一个位置考虑，注意到所有经过当前格子的史莱姆为 $S$，那么一定有 $\lceil \frac{S}{2} \rceil$ 个史莱姆去了右边的格子，剩下 $\lfloor \frac{S}{2} \rfloor$ 个史莱姆一定去了下面的格子。

那么现在的思路就很显然了，考虑设 $f_{i, j}$ 表示点 $(i, j)$ 经过了的史莱姆个数。

事实上，我们只是对于每个点的史莱姆个数做了一个前缀和，因此判断 $t$ 时刻是否有新增史莱姆，直接判断 $f_{t, i, j}$ 和 $f_{t - 1, i, j}$ 是否相同即可。

这样还有一个问题，我们如何知道当前哪些史莱姆应该停止不移动下去。

这个问题很显然，我们只需要保证当前询问的 $(x, y)$ 点正确即可，因此只需要考虑走的步数 $\ge x + y - 1$ 的史莱姆即可。

复杂度：$O(120 ^ 2 q)$。