YC309A [ 20240627 CQYC省选模拟赛 T1 ] 或(or)

题意

给定一个可重集 \(S\)，求所有的前缀的集合的代价。

定义一个集合的代价为：

\[\max_x \left( (\max_i b_i \lvert x) - (\min_i b_i \lvert x)\right) \]

\(n \le 10 ^ 6, V \le 2 \times 10 ^ 6\)

Sol

首先看到这个式子直接开划。

称较大的数为 \(b_i\)，较小的数为 \(b_j\)。

直接考虑二进制位，发现 \(x\) 会取到所有 \(b_{j, k} = 1\) 而 \(b_{i, k} = 0\) 的位置上。

我们发现答案的值域很小，集中注意力，思考答案会满足什么样的性质。

事实上答案 \(ans\) 满足 \(ans \subseteq b_i\) 以及 \(ans \subseteq \overline b_j\)。

这个玩意是充要条件。

接下来就很简单了，直接考虑维护两个集合 \(Sx\), \(Sy\)，分别表示加入 \(x \subseteq b_i\)，\(y \subseteq \overline b_j\)，即可。

假如一个数 \(x\) 同时出现在了两个集合中，直接更新答案即可。