YC282B [ 20240430 CQYC省选模拟赛 T2 ] 温柔（gentle）

题意

有 \(n\) 个魔法少女，每个魔法少女的法力为 \(a_i\)，她们要打败 \(n\) 个法力为 \(b_i\) 的怪兽！

你需要构造 \({c_n}\)，使得对于给定的 \(m\) 组限制，满足：\(c_x \ge b_x \land c_y \ge b_y\) 或 \(c_y \ge b_x \land c_x \ge b_y\)。

你需要 \(\sum_{i = 1} ^ n |c_i - a_i|\)，并输出这个值。

Sol

集中注意力，考虑每一组限制。

不难发现显然有 \(c_x \ge \min(b_x, b_y) \land c_y \ge \min(b_x, b_y)\)。

若当前 \(a_i\) 不满足该限制，直接加上即可。

考虑当前的限制，钦定 \(b_x \le b_y\)。

注意到对于 \(a_x\) 来说，发现只有两种情况。

要么她本身满足 \(a_x \ge b_x\)，要么由她所有限制的 \(y\)，满足 \(a_y \ge b_x\)。

接下来就很简单啦！

考虑最小割，对于 \(a_x \to a_x + 1\)，直接套广义切糕模型即可。

具体地，设二元组 \((i, j)\) 表示第 \(a_i\) 加了 \(j\) 的贡献点。

• \((i, j) \to T\)，容量 \(1\)。

• \((i, j) \to (i, j - 1)\)，容量 \(inf\)。

枚举 \(\forall i \in [1, n]\)，对于所有 \(x = i\) 的限制 \(y\)，连接：

• \(S \to i\)，容量 \(h_x - s_x\)。
• \(i \to (y, h_x - s_y)\)，容量 \(inf\)。

跑一遍最大流即可。

复杂度：\(O(MaxFlow(nV))\)。