YC282B [ 20240430 CQYC省选模拟赛 T2 ] 温柔（gentle）

题意#

有 $n$ 个魔法少女，每个魔法少女的法力为 $a_i$，她们要打败 $n$ 个法力为 $b_i$ 的怪兽！

你需要构造 ${c_n}$，使得对于给定的 $m$ 组限制，满足：$c_x \ge b_x \land c_y \ge b_y$ 或 $c_y \ge b_x \land c_x \ge b_y$。

你需要 $\sum_{i = 1} ^ n |c_i - a_i|$，并输出这个值。

Sol#

集中注意力，考虑每一组限制。

不难发现显然有 $c_x \ge \min(b_x, b_y) \land c_y \ge \min(b_x, b_y)$。

若当前 $a_i$ 不满足该限制，直接加上即可。

考虑当前的限制，钦定 $b_x \le b_y$。

注意到对于 $a_x$ 来说，发现只有两种情况。

要么她本身满足 $a_x \ge b_x$，要么由她所有限制的 $y$，满足 $a_y \ge b_x$。

接下来就很简单啦！

考虑最小割，对于 $a_x \to a_x + 1$，直接套广义切糕模型即可。

具体地，设二元组 $(i, j)$ 表示第 $a_i$ 加了 $j$ 的贡献点。

• $(i, j) \to T$，容量 $1$。

• $(i, j) \to (i, j - 1)$，容量 $inf$。

枚举 $\forall i \in [1, n]$，对于所有 $x = i$ 的限制 $y$，连接：

• $S \to i$，容量 $h_x - s_x$。
• $i \to (y, h_x - s_y)$，容量 $inf$。

跑一遍最大流即可。

复杂度：$O(MaxFlow(nV))$。