P4423 / YC271A [ 20240411 CQYC省选模拟赛 T1 ] 三角形（triangle)

题意

给定 \(n\) 个点，求平面最小三角形周长。

Sol

其实挺简单一算法，一直没学。

先随机转个∠，然后按照 \(x\) 排序。

考虑分治。

注意到分治左右两边的答案对当前可用的区间有限制。

将满足限制的点按照 \(y\) 排序。

这里可以归并做到一只 \(log\)。

然后集中注意力，发现对于每个点有用的节点有限制，暴力弄出右端点乱跑一下即可。

关于复杂度，注意到由于分治左右两边的答案，对于当前 \(h\) 大小的正方形里的点有限制。

因此枚举到的答案集合大小是 \(n\) 的常数级的。

所以复杂度为 \(O(n \log n)\)。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <random>
#include <chrono>
#define pii pair <double, double>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
    int p = 0, flg = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') flg = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return p * flg;
}
void write(int x) {
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
bool _stmer;

#define fi first
#define se second

mt19937 gen(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());

const int N = 1e6 + 5;
array <pii, N> edge;

double fpow(double x) { return x * x; }

double dist(pii x, pii y) {
    double _x = fpow(x.fi - y.fi), _y = fpow(x.se - y.se);
    return sqrt(_x + _y);
}

double per(pii x, pii y, pii z) { return dist(x, y) + dist(y, z) + dist(x, z); }

double solve(int l, int r) {
    double ans = 4e18;
    if (r - l <= 3) {
        for (int i = l; i <= r; i++)
            for (int j = i + 1; j <= r; j++)
                for (int k = j + 1; k <= r; k++)
                    ans = min(ans, per(edge[i], edge[j], edge[k]));
        sort(edge.begin() + l, edge.begin() + r + 1, [](pii x, pii y) {
            return x.se < y.se;
        });
        return ans;
    }
    int mid = (l + r) >> 1, res = edge[mid].fi;
    ans = min(solve(l, mid), ans);
    ans = min(solve(mid + 1, r), ans);
    inplace_merge(edge.begin() + l, edge.begin() + 1 + mid,
                  edge.begin() + 1 + r, [](pii x, pii y) {
        return x.se < y.se;
    });
    vector <pii> tp;
    for (int i = l; i <= r; i++)
        if (abs(edge[i].fi - res) <= ans / 2.0)
            tp.push_back(edge[i]);
    for (int i = 0; i < (int)tp.size(); i++)
        for (int j = i + 1; j < (int)tp.size() && tp[j].se - tp[i].se <= ans / 2.0; j++)
            for (int k = i + 1; k < j; k++)
                ans = min(ans, per(tp[i], tp[j], tp[k]));
    return ans;
}

bool _edmer;
int main() {
    cerr << (&_stmer - &_edmer) / 1024.0 / 1024.0 << "MB\n";
    int n = read();
    uniform_int_distribution <> rnd(1, 359);
    double pi = rnd(gen) / 180.0 * acos(-1.0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x = read(), y = read();
        edge[i].fi = x * cos(pi) - y * sin(pi),
        edge[i].se = x * sin(pi) + y * cos(pi);
    }
    sort(edge.begin() + 1, edge.begin() + 1 + n);
    printf("%.6lf\n", solve(1, n));
    return 0;
}