[ARC060F] Best Representation

题意

给定一个字符串 \(s\)。

设一个字符串 \(t\) 是好的，当且仅当不存在一个 \(\text{Period}\) 能整除 \(|t|\)。

求最小的划分段数使得每段都是好的，及最小的划分段数的方案数。

Sol

考虑两种特殊情况：

• \(s\) 有长度为 \(1\) 的 \(\text{Period}\)。
• \(s\) 本身就是好串。

前者答案显然为 \((n, 1)\)，后者答案为 \((1, 1)\)。

集中注意力，不难想到一个结论：

最小的划分段数只会为 \(2\)。

显然可以考虑对于某个不好的串，可以考虑将她的最后一个字母割开。

注意到对于后面的这个串，我们一定可以找到某一个后缀串，可以使得她是好的串。

否则若 \(s\) 的所有后缀都是不好的串，那么 \(s\) 显然存在长度为 \(1\) 的 \(\text{Period}\)。

因此，证明该结论即证：对于所有的 \(s'\) 与 \(s' + c\) (\(c\) 为一个字符)，两者不可能同为好串。

其实这个结论非常好证明。

首先，根据 \(\text{Periodicity Lemma}\) 可知：

若一个串有 \(\text{Period}\) \(p, q\)，且 \(p + q \le |S| + \gcd(p, q)\)，则 \(\gcd(p, q)\) 为该串的一个 \(\text{Period}\)。

显然，对于 \(s'\) 的整除 \(|s'|\) 的 \(\text{Period}\) \(x\)，与 \(s' + c\) 的 \(\text{Period}\) \(y\)。

\(x \le \frac{|s'|}{2}\)，\(y \le \frac{|s'| + 1}{2}\)，所以 \(x + y \le |S| + \gcd(x, y)\)。

又因为 \(x\) 为 \(s'\) 的一个 \(\text{Period}\)，所以 \(\gcd(x, y)\) 为 \(s'\) 的一个 \(\text{Period}\)。

显然 \(\gcd(x, y)\) 只能为 \(1\)。

对于长度为 \(1\) 的 \(\text{Period}\)，已经被我们判过了。

所以结论成立。

对于第二问，考虑枚举每一个分割点，判断前后两段是否为好串即可。

根据 \(\text{Periodicity Lemma}\) 可知，直接判断最小 \(\text{Period}\) 是否整除即可。