P9732 [CEOI2023] Trade

题意#

一个区间，你需要在其中选出一段大于 $k$ 的区间。

使得前 $k$ 大的 $s_i$ 减去区间 $c_i$ 之差最大。

问，价值最大是多少，以及哪些点可以成为被选择的价值最大的区间的前 $k$ 大的点。

Sol#

摆摆摆，颓颓颓。

注意到有决策单调性，考虑怎么证明。

显然，设 $f_i = \max w(i, j)$。

有：

$$w(a, c) + w(b, d) \le w(a, b) + w(c, d)$$

注意到 $c_i$ 的贡献相同。

$$w'(a, c) + w'(b, d) \le w'(a, b) + w'(c, d)$$

即证：

$$w'(a, b) + w'(a + 1, b + 1) \ge w'(a, b + 1) + w'(a + 1, b)$$

注意到对于新加入的 $a + 1$，$b + 1$ 两个点，在左边显然可以替换掉最小值与次小值，而在右边若最小值与次小值在同一区间，会更劣。

因此我们简单证明了决策单调性。

接下来就好做了，考虑分治，用 $l, r$ 与 $L, R$ 分别表示左端点的区间，与右端点的区间。

每次考虑当前的 $mid$，暴力枚举所有右端点，找到最优右端点。

递归 $l, mid - 1$ 与 $L, pos$，以及 $mid + 1$ 与 $pos, R$ 即可。

考虑如何快速计算当前区间的答案。

对于 $c$ 显然是 trivial 的，不再赘述。

考虑如何求出一个区间的前 $k$ 大 $s_i$。

这显然可以直接来一发可持久化线段树。

考虑更优秀的做法。

注意到其实每次移动的区间并不多，可以使用类似莫队的方式暴力移动。

为什么移动区间量是 $O(n \log n)$ 的？

可以考虑这样一件事情，对于左端点显然移动次数为 $n$，对于右端点，对于每个分治区间最劣情况下会跑满，而分治区间的总量显然是 $O(n \log n)$ 级别的。

因此，使用两个对顶堆维护插入删除，总复杂度 $O(n \log ^ 2 n)$。

考虑第二问，我们在分治的过程中记录下最大的价值，以及当前区间的第 $k$ 大值。

直接使用区间求 $min$ 线段树覆盖，单点查询即可。

总时间复杂度：$O(n \log ^ 2 n + n \log n)$。