JOISC 2016 回転寿司

题意#

给定一个有 $n$ 个点的环，环上每个点各有一个权值 $A_i$。

给出 $m$ 个询问，每次询问给定整数 $x$。

你需要进行如下操作：

for (int i=l;i<=r;i++) if(a[i]>x) swap(a[i],x);

对于每次询问，回答操作后 $x$ 的最终取值。

$1 \le n \le 4 \times 10 ^ 5, 1 \le q \le 2.5 \times 10 ^ 4$。

Sol#

集中注意力，不难发现每次 $x$ 的最终取值一定为：

$$x = \max_{i = l} ^ r a_i$$

考虑一个弱化版的问题，每次询问 $l = 1, r = n$。

注意到我们并不关系 $a$ 到底长什么样子，我们只需要知道当前的最大值，并且需要动态维护。

直接上个堆就做完了。

于是我们的思路就很明确了，对于 $a$ 分块。

对于每个块维护一个堆，用来处理当前的询问。

问题在于散块该如何维护？

注意到我们需要知道散块每个位置上的值，这明显是不好做的。

我们需要一些更强的结论。

如果对于一个区间插入若干值，插入顺序不影响序列最终的长相

注意到当前块 $a_l, a_{l + 1}, ..., a_{r}$，每次弹出的最大值是固定的。

显然，对于当前被修改过的下标的集合 $p$，$p_{a_i}$ 满足单调不降。

所以，顺序不影响长相。

具体地，在修改时将 $x$ 扔进小根堆 $q$，重构时考虑暴力枚举这个块的所有点，先将当前点加入堆，然后将堆顶元素放在当前位置。

这样就做完了。

时间复杂度：$O(q \sqrt n \log n)$