[ARC058F] Iroha Loves Strings

题意#

给定 $n$ 个字符串 $s_1, s_2, ..., s_n$ 。

你需要在其中选择一些字符串，按照顺序拼接。

在所有生成的长度为 $k$ 的字符串中，选择字典序最小的一个。

$n \le 2000, k \le 10 ^ 4, \sum |s_i| \le 10 ^ 6$

Sol#

考虑一个朴素的 dp。

设 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个字符串，放到了前 $j$ 个位置的最小的字符串。

这个 dp 的复杂度为 $nk \times \sum |s_i|$ 。

不难注意到一个事情，如果当前放的字符串 $s_i$ 已经不是最优的字典序了，那么无论后面怎么放，此处放 $s_i$ 都不可能成为最优方案。

考虑想的暴力一点：

设 $f_{i, j, k}$ 表示用第 $j$ 个字符串的第 $k$ 位填在第 $i$ 位，是否可以为当前字典序最小的方案，且合法。

先考虑简单的合法，每次新放一个字符串都需要判断放当前字符串是否可以组成长度为 $k$ 的答案。

设 $g_{i, j}$ 表示用第 $j$ 个字符串填完前 $i$ 位是否能合法。

显然：

\forall k \in [j + 1, n], g_{i, j} = g_{i, j} \lor g_{i + l e n_{j}, k}

$\forall k \in [j + 1, n], g_{i, j} = g_{i, j} \vee g_{i + len_j, k}$

$g_{i, j}$ 显然可以在 $O(nk)$ 的时间求出。

考虑当前的最小字符。

注意到当前可以填的最小字符 $s_{j, k}$ 满足：

{\begin{aligned} min_{j, k} s_{j, k + 1}, & [f_{i - 1, j, k} = 1] \\ min_{j} s_{j, 1}, & [\exists k, k < j, f_{i - 1, k, l e n_{k}} = 1] \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} & \min_{j, k} s_{j, k + 1} , & & [f_{i - 1, j, k} = 1] \\ & \min_{j} s_{j, 1} , & & [\exists k, k < j, f_{i - 1, k, len_k} = 1] & \end{aligned} \right.$

注意到下面的式子和 $g$ 类似，可以在 $O(nk)$ 之内找出最小字符 $c$ 。

考虑上面的式子。

考虑直接把 $j, k$ 两维暴力压成一维后用 $\text{bitset}$ 维护。

二分当前的最小字符 $c$ ，考虑预处理 $h_{i, j}$ 表示第 $j$ 个位置存在字典序小于等于 $i$ 字符。

那么一个很显然的事情，当前最小字符为 $c$ 合法，当且仅当 (h[c] & (f[i - 1] << 1)) 的 $\text{bitset}$ 存在 $1$ 。

考虑二分 $c$ ，复杂度： $O(\frac{n \times \sum |s_i|}{\omega} \times \log 26)$ 。

那么转移就很简单了。

{\begin{aligned} f_{i, j, k} \to f_{i + 1, j, k + 1}, & s_{j, k + 1} = c \\ f_{i, j, l e n_{j}} \to f_{i + 1, k, 1}, & s_{k, 1} = c, g_{i + 1, k} = 1 \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} f_{i, j, k} \to f_{i + 1, j, k + 1}, & & s_{j, k + 1} = c \\ f_{i, j, len_j} \to f_{i + 1, k, 1}, & & s_{k, 1} = c, g_{i + 1, k} = 1 \\ \end{aligned} \right.$

实现细节较多。

Code#

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
#include <string>
#include <bitset>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
    int p = 0, flg = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') flg = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return p * flg;
}
string read_() {
    string ans;
    char c = getchar();
    while (c < 'a' || c > 'z') c = getchar();
    while (c >= 'a' && c <= 'z') ans += c, c = getchar();
    return ans;
}
void write(int x) {
    if (x < 0) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
bool _stmer;

const int N = 2e3 + 5, M = 1e6 + 5, K = 1e4 + 5;

array <int, N> len, fir, sum;

array <bitset <N>, K> g, suf;
array <bitset <M>, 27> h;
array <bitset <M>, 2> f;

bitset <M> pre, vis;

bool check(int v, int c) { return (h[c] & (f[v] << 1)).count(); }

bool _edmer;
int main() {
    cerr << (&_stmer - &_edmer) / 1024.0 / 1024.0 << "MB\n";
/* #ifdef cxqghzj */
    /* freopen("_.txt", "r", stdin); */
/* #endif */
    int n = read(), m = read();
    string mp;
    /* write(f[0].count()), puts("#"); */
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        vis[fir[i] = mp.size()] = 1, mp += read_(), len[i] = (sum[i] = mp.size()) - fir[i];
    for (int i = 1; i <= 26; i++)
        for (int j = 0; j < (int)mp.size(); j++)
            if (!vis[j])
                h[i][j + 1] = (mp[j] <= ('a' + i - 1));
    suf[m + 1][n + 1] = 1;
#define upd(x, y) (x = x | y)
    for (int j = n; j; j--) {
        for (int i = 1; i + len[j] - 1 <= m; i++)
            upd(g[i][j], suf[i + len[j]][j + 1]);
        for (int i = 1; i <= m + 1; i++) suf[i][j] = g[i][j] | suf[i][j + 1];
    }
    f[0][0] = 1, pre[1] = 1;
    int v = 0;
    string ans;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int l = 1, r = 26;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (pre[j] && g[i + 1][j]) r = min(r, mp[fir[j]] - 'a' + 1);
            pre[j + 1] = f[v][sum[j]] | pre[j];
        }
        pre = 0;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (check(v, mid)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        ans.push_back(r + 'a' - 1);
        f[v ^ 1] = h[r] & (f[v] << 1);
        bool flg = 0;
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            if (j && g[i + 1][j] && mp[fir[j]] <= r + 'a' - 1)
                upd(f[v ^ 1][fir[j] + 1], flg);
            flg |= f[v][sum[j]];
        }
        /* write(f[v ^ 1].count()), puts(""); */
        v ^= 1;
    }
    printf("%s\n", ans.c_str());
    return 0;
}