P3327 [SDOI2015] 约数个数和

题意#

求：

$$\sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 1} ^ m d(ij)$$

其中 $d(n)$ 代表 $n$ 的约数个数。

Sol#

考虑拆开 $d(ij)$，平凡的想法是考虑 $i$ 和 $j$ 分别对 $d(ij)$ 提供因子。

注意到若 $i$ 能提供完因子 $p$，那么直接从 $i$ 里取即可。

否则需要在 $j$ 里取因子。

集中注意力，注意到从 $j$ 里取因子，当且仅当 $i$ 已经被取完了。

这句话看似是废话，但这告诉我们，取 $j$ 的因子完全可以代表 $i$ 的因子被取完。

考虑一种双射，取 $i$ 表示取 $i$，取 $j$ 表示先取完 $i$，然后再取 $j$。

因此我们保证了双射过后不会同时取 $i$ 和 $j$。

也就是：

$$d(ij) = \sum_{x | i} \sum_{y | j} [\gcd(i, j) = 1]$$

后面的就很简单啦。

$$\begin{align*} \sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 1} ^ m d(ij) &= \sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 1} ^ m \sum_{x | i} \ sum_{y | j} [\gcd(i, j) = 1] \\ &= \sum_{x = 1} ^ n \sum_{y = 1} ^ m [\gcd(i, j) = 1] \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \lfloor \frac{m}{y} \rfloor \\ &= \sum_{x = 1} ^ n \sum_{y = 1} ^ m \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \lfloor \frac{m}{y} \rfloor \sum_{d | \gcd(x, y)} \mu(d) \\ &= \sum_{d = 1} ^ {\min(n, m)} \mu(d) \sum_{x = 1} ^ n \sum_{y = 1} ^ m \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \lfloor \frac{n}{y} \rfloor [d | x] [d | y] \\ &= \sum_{d = 1} ^ {\min(n, m)} \mu(d) \sum_{x = 1} ^ {\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum_{y = 1} ^ {\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} \lfloor \frac{n}{xd} \rfloor \lfloor \frac{m}{yd} \rfloor \end{align*}$$

令 $f(n) = \sum_{i = 1} ^ n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$。

$$\begin{align*} &= \sum_{d = 1} ^ {\min(n, m)} \mu(d) f(\frac{n}{d}) f(\frac{m}{d}) \end{align*}$$

预处理 $f$，直接整除分块即可。