P5309 [Ynoi2011] 初始化

题意

给定一个序列 \(s\)，每次修改操作 \(x, y, z\)。

\(i \in [y, y + x, y + 2x, y + 3x, \ldots, y + kx]\)，\(s_i = s_i + z\)。

区间查询 \(\sum_{i = l} ^ r s_i\)。

Sol

根号分治，很明显了吧。

考虑修改操作。

• \(x > \sqrt{n}\) 直接暴力维护。
• \(x \le \sqrt{n}\) 不太好维护，考虑其他方法：

上个线段树？

不对。

考虑我们在查询的时候需要用到哪些东西：

对于 \(x > \sqrt{n}\) 的修改与原数组之和，上一个分块就能很好维护。

那 \(x \le \sqrt{n}\) 呢？

我们可以枚举 \(x\)。很难不想到当前的数组就被 \(x\) 分成了一段一段。

设 \(f_{i, j}\) 表示当前 \(x = i\)，\(y = 1 \dots j\) 的修改之和。

修改是平凡的。

查询考虑 \(O(1)\) 模拟分块。

这样这道题就做完了。

时间复杂度 \(O(n \sqrt n)\)。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
#include <cmath>
#define ll long long
#define rg register
#define il inline
using namespace std;

/* #ifdef ONLINE_JUDGE */

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

/* #endif */

int read() {
	rg int p = 0, flg = 1;
	rg char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {
		if (c == '-') flg = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		p = p * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return p * flg;
}
void write(rg int x) {
	if (x < 0) {
		x = -x;
		putchar('-');
	}
	if (x > 9) {
		write(x / 10);
	}
	putchar(x % 10 + '0');
}

const int N = 2e5 + 5, M = 5005, mod = 1e9 + 7;

array <ll, N> s;

namespace ds {

int bsk, bsi;

array <array <int, M>, M> isl;
array <ll, M> bk;

int n;

il void Mod(rg ll &x) {
	if (x >= mod) x -= mod;
	if (x < 0) x += mod;
}

il void Mod(rg int &x) {
	if (x >= mod) x -= mod;
	if (x < 0) x += mod;
}

il int calc(rg int x) {
	return (x - 1) / bsk + 1;
}

il int calc(rg int x, rg int y) {
	return (x - 1) / y + 1;
}

il void modify(rg int x, rg int y, rg int z) {
	if (x <= bsk) {
		for (rg int i = y; i <= x; i++)
			isl[x][i] += z, Mod(isl[x][i]);
	}
	else {
		for (rg int i = y; i <= n; i += x)
			s[i] += z, bk[calc(i)] += z;
	}
}

il int query(rg int x, rg int y) {
	rg ll ans = 0;
	if (calc(x) == calc(y)) {
		for (rg int i = x; i <= y; i++)
			ans = (ans + s[i]);
	}
	else {
		for (rg int i = x; i <= calc(x) * bsk; i++)
			ans = (ans + s[i]);
		for (rg int i = calc(x) + 1; i < calc(y); i++)
			ans = (ans + bk[i]);
		for (rg int i = (calc(y) - 1) * bsk + 1; i <= y; i++)
			ans = (ans + s[i]);
	}
	for (rg int i = 1; i <= bsk; i++) {
		rg int l1 = (x % i == 0 ? i : x % i),
			l2 = (y % i == 0 ? i : y % i);
		if (calc(x, i) == calc(y, i))
			ans += isl[i][l2] - isl[i][l1 - 1];
		else {
			ans = (ans + isl[i][l2]
				+ isl[i][i] - isl[i][l1 - 1]
				+ 1ll * isl[i][i] * (calc(y, i) - calc(x, i) - 1) % mod);
		}
	}
	while (ans < 0) ans += mod;
	return ans % mod;
}

}

int main() {
	rg int n = read(), m = read();
	ds::bsk = sqrt(n) * 0.34, ds::bsi = ds::calc(n); ds::n = n;
	for (rg int i = 1; i <= n; i++)
		s[i] = read(), ds::bk[ds::calc(i)] += s[i], ds::Mod(ds::bk[ds::calc(i)]);
	for (rg int i = 1; i <= m; i++) {
		rg int op = read(), x = read(), y = read();
		if (op == 1) {
			rg int z = read();
			ds::modify(x, y, z);
		}
		else write(ds::query(x, y)), puts("");
	}
	return 0;
}