P2495 [SDOI2011] 消耗战

题意#

给定一棵有边权的无根树。

$q$ 次询问，每次询问 $k$ 个点。

求断边使得根节点 $1$ 与 $k$ 个点不连通的最小边权。

Sol#

虚树。

$n ^ 2$ dp 是 trivial 的。

考虑优化。注意到其中很多点都是无用的。

考虑保留有效点。

不难发现，有效点集为询问点两两 $lca$ 的集合。

对于两两 $lca$，我们可以按照 $dfn$ 排序，变为相邻两两的 $lca$。

总点数 $cnt = n + n / 2 + n / 4 + ... = 2 * n$。

正确性显然。

问题变为：如何构造这棵树？

维护一个单调栈，维护当前最右端的这条链。

考虑当前节点与栈顶的 $lca$ 是否为栈顶，也就是判断当前点是否在链上。

否则考虑删除，并加入当前点与栈顶的 $lca$。把删掉的点全部连起来就行了。

回到这道题。

使用虚树，将总 $dp$ 的点数控制在了 $n$ 的级别。

根据题意，需要维护链上的最小值，不带修。这是 trivial 的，使用 ST 表轻松解决。

Code#

Copy
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <array>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <vector>
#define int long long
#define pii pair <int, int>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE

#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
char buf[1 << 23], *p1 = buf, *p2 = buf, ubuf[1 << 23], *u = ubuf;

#endif
int read() {
	int p = 0, flg = 1;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {
		if (c == '-') flg = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		p = p * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return p * flg;
}
void write(int x) {
	if (x < 0) {
		x = -x;
		putchar('-');
	}
	if (x > 9) {
		write(x / 10);
	}
	putchar(x % 10 + '0');
}
#define fi first
#define se second

const int N = 2.5e5 + 5, M = 1e6 + 5, inf = 1e18;

namespace G {

array <int, N> fir;
array <int, M> nex, to, len;
int cnt;
void add(int x, int y, int z) {
	cnt++;
	nex[cnt] = fir[x];
	to[cnt] = y;
	len[cnt] = z;
	fir[x] = cnt;
}

}

namespace T {

array <int, N> fir;
array <int, M> nex, to;
int cnt;
void add(int x, int y) {
	/* write(x), putchar(32); */
	/* write(y), puts(""); */
	cnt++;
	nex[cnt] = fir[x];
	to[cnt] = y;
	fir[x] = cnt;
}

}

namespace ST {

array <array <int, 21>, N> sT;
array <int, N> s, lg;

void init(int n) {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		lg[i] = log2(i);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		sT[i].fill(inf);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		sT[i][0] = s[i];
	for (int j = 1; j < 21; j++)
		for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
			sT[i][j] = min(sT[i][j - 1], sT[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}

int query(int x, int y) {
	if (x > y) return inf;
	int l = lg[y - x + 1];
	return min(sT[x][l], sT[y - (1 << l) + 1][l]);
}

}

namespace Hpt {

using G::fir; using G::nex; using G::to;

array <int, N> siz, dep, fa, son;
array <int, N> cur;

void dfs1(int x) {
	siz[x] = 1;
	for (int i = fir[x]; i; i = nex[i]) {
		if (to[i] == fa[x]) continue;
		fa[to[i]] = x;
		dep[to[i]] = dep[x] + 1;
		cur[to[i]] = G::len[i];
		dfs1(to[i]);
		siz[x] += siz[to[i]];
		if (siz[to[i]] > siz[son[x]]) son[x] = to[i];
	}
}

array <int, N> dfn, idx, top;
int cnt;

void dfs2(int x, int Mgn) {
	cnt++;
	dfn[x] = cnt;
	idx[cnt] = x;
	top[x] = Mgn;
	if (son[x]) dfs2(son[x], Mgn);
	for (int i = fir[x]; i; i = nex[i]) {
		if (to[i] == fa[x] || to[i] == son[x]) continue;
		dfs2(to[i], to[i]);
	}
}

int lca(int x, int y) {
	while (top[x] != top[y]) {
		if (dfn[top[x]] < dfn[top[y]]) swap(x, y);
		x = fa[top[x]];
	}
	if (dfn[x] > dfn[y]) swap(x, y);
	return x;
}

int query(int x, int y) {
	int ans = inf;
	while (top[x] != top[y]) {
		if (dfn[top[x]] < dfn[top[y]]) swap(x, y);
		ans = min(ans, ST::query(dfn[top[x]], dfn[x]));
		x = fa[top[x]];
	}
	if (dfn[x] > dfn[y]) swap(x, y);
	ans = min(ST::query(dfn[x] + 1, dfn[y]), ans);
	return ans;
}

}

namespace Vit {

vector <pii> isl;
array <int, N> stk;
int tp;

void build() {
	sort(isl.begin(), isl.end());
	tp = 1; stk[tp] = 1; T::fir[1] = 0;
	for (auto x : isl) {
		if (x.se == 1) continue;
		int lcA = Hpt::lca(stk[tp], x.se);
		/* write(lcA), puts("#"); */
		if (lcA != stk[tp]) {
			while (Hpt::dfn[stk[tp - 1]] > Hpt::dfn[lcA])
				T::add(stk[tp - 1], stk[tp]), tp--;
			if (stk[tp - 1] != lcA)
				T::fir[lcA] = 0, T::add(lcA, stk[tp]), stk[tp] = lcA;
			else
				T::add(stk[tp - 1], stk[tp]), tp--;
		}
		T::fir[x.se] = 0, tp++, stk[tp] = x.se;
	}
	for (int i = 1; i < tp; i++)
		T::add(stk[i], stk[i + 1]);
}

bitset <N> vis;

int dfs(int x) {
	int res = 0;
	for (int i = T::fir[x]; i; i = T::nex[i]) {
		int len = Hpt::query(x, T::to[i]);
		if (vis[T::to[i]]) {
			res += len;
			continue;
		}
		res += min(dfs(T::to[i]), len);
	}
	return res;
}

}

signed main() {
	int n = read();
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int x = read(), y = read(), z = read();
		G::add(x, y, z), G::add(y, x, z);
	}
	Hpt::dfs1(1), Hpt::dfs2(1, 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ST::s[i] = Hpt::cur[Hpt::idx[i]];
	ST::init(n);
	/* for (int i = 1; i <= n; i++) */
		/* write(ST::s[i]), putchar(32); */
	/* puts(""); */
	/* write(Hpt::query(1, 3)), puts(""); */

	/* return 0; */
	int q = read();
	while (q--) {
		int k = read();
		for (int i = 1; i <= k; i++) {
			int x = read(); Vit::vis[x] = 1;
			Vit::isl.push_back(make_pair(Hpt::dfn[x], x));
		}
		Vit::build();
		write(Vit::dfs(1)), puts("");
		for (auto x : Vit::isl)
			Vit::vis[x.se] = 0;
		Vit::isl.clear();
	}
	return 0;
}