从零开始的数论

同余

定义不多说了,ab(modm)

性质

ab,cd,则:

  • a+cb+d
  • acbd
  • acbd

常用的等价形式为,取模运算关于加法和乘法可以拆分运算。

线性同余

形如 axb(modm) 的方程被称为线性同余方程。如果 gcd(a,m)=1,那么 x 一定有解,且解形如 xb(modm)

这是因为,此时 a 的所有倍数可以经过每个模 m 同余类。反证法:假如 a 不能遍历,则存在一个 pa0(modm)p<m,与 a,m 互质矛盾。

由此,我们可以引出逆元的概念:当 gcd(a,m)=1 时,a 有唯一的逆元 a1 满足 0a1<m,aa11,那么线性同余方程的解即为 xba1

费马小定理

费马小定理,即对于一个质数 pap11(modp)。证明:由于 x 的所有倍数经过了每个模 p 同余类,所以 {x,2x,,(p1)x}{1,2,,p1},所以 x2x(p1)x12(p1),即 xp11

费马小定理的一个常见应用为,对于质数 p,在模 p 意义下 a1ap2

posted @   曹轩鸣  阅读(39)  评论(0编辑  收藏  举报
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