从零开始的数论

同余

定义不多说了，\(a\equiv b\pmod m\)。

性质

若 \(a\equiv b,c\equiv d\)，则：

• \(a+c\equiv b+d\)
• \(a-c\equiv b-d\)
• \(a\cdot c\equiv b\cdot d\)

常用的等价形式为，取模运算关于加法和乘法可以拆分运算。

线性同余

形如 \(ax\equiv b\pmod m\) 的方程被称为线性同余方程。如果 \(\gcd(a,m)=1\)，那么 \(x\) 一定有解，且解形如 \(x\equiv b'\pmod m\)。

这是因为，此时 \(a\) 的所有倍数可以经过每个模 \(m\) 同余类。反证法：假如 \(a\) 不能遍历，则存在一个 \(pa\equiv 0\pmod m\) 且 \(p<m\)，与 \(a,m\) 互质矛盾。

由此，我们可以引出逆元的概念：当 \(\gcd(a,m)=1\) 时，\(a\) 有唯一的逆元 \(a^{-1}\) 满足 \(0\le a^{-1}<m,a\cdot a^{-1}\equiv 1\)，那么线性同余方程的解即为 \(x\equiv b\cdot a^{-1}\)。

费马小定理

费马小定理，即对于一个质数 \(p\)，\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。证明：由于 \(x\) 的所有倍数经过了每个模 \(p\) 同余类，所以 \(\{x,2x,\cdots,(p-1)x\}\equiv\{1,2,\cdots,p-1\}\)，所以 \(x\cdot 2x\cdots (p-1)x\equiv 1\cdot 2\cdots (p-1)\)，即 \(x^{p-1}\equiv 1\)。

费马小定理的一个常见应用为，对于质数 \(p\)，在模 \(p\) 意义下 \(a^{-1}\equiv a^{p-2}\)。