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定义不多说了,a≡b(modm)。
若 a≡b,c≡d,则:
常用的等价形式为,取模运算关于加法和乘法可以拆分运算。
形如 ax≡b(modm) 的方程被称为线性同余方程。如果 gcd(a,m)=1,那么 x 一定有解,且解形如 x≡b′(modm)。
这是因为,此时 a 的所有倍数可以经过每个模 m 同余类。反证法:假如 a 不能遍历,则存在一个 pa≡0(modm) 且 p<m,与 a,m 互质矛盾。
由此,我们可以引出逆元的概念:当 gcd(a,m)=1 时,a 有唯一的逆元 a−1 满足 0≤a−1<m,a⋅a−1≡1,那么线性同余方程的解即为 x≡b⋅a−1。
费马小定理,即对于一个质数 p,ap−1≡1(modp)。证明:由于 x 的所有倍数经过了每个模 p 同余类,所以 {x,2x,⋯,(p−1)x}≡{1,2,⋯,p−1},所以 x⋅2x⋯(p−1)x≡1⋅2⋯(p−1),即 xp−1≡1。
费马小定理的一个常见应用为,对于质数 p,在模 p 意义下 a−1≡ap−2。
/bx
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