从零开始的数论

同余

定义不多说了，$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

性质

若 $a\equiv b,c\equiv d$，则：

• $a+c\equiv b+d$
• $a-c\equiv b-d$
• $a\cdot c\equiv b\cdot d$

常用的等价形式为，取模运算关于加法和乘法可以拆分运算。

线性同余

形如 $ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 的方程被称为线性同余方程。如果 $gcd(a,m)=1$，那么 $x$ 一定有解，且解形如 $x\equiv b^{\prime }(\mathrm{mod}m)$。

这是因为，此时 $a$ 的所有倍数可以经过每个模 $m$ 同余类。反证法：假如 $a$ 不能遍历，则存在一个 $pa\equiv 0(\mathrm{mod}m)$ 且 $p<m$，与 $a,m$ 互质矛盾。

由此，我们可以引出逆元的概念：当 $gcd(a,m)=1$ 时，$a$ 有唯一的逆元 $a^{-1}$ 满足 $0\le a^{-1}<m,a\cdot a^{-1}\equiv 1$，那么线性同余方程的解即为 $x\equiv b\cdot a^{-1}$。

费马小定理

费马小定理，即对于一个质数 $p$，$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。证明：由于 $x$ 的所有倍数经过了每个模 $p$ 同余类，所以 $\{x,2x,\cdots ,(p-1)x\}\equiv \{1,2,\cdots ,p-1\}$，所以 $x\cdot 2x\cdots (p-1)x\equiv 1\cdot 2\cdots (p-1)$，即 $x^{p-1}\equiv 1$。

费马小定理的一个常见应用为，对于质数 $p$，在模 $p$ 意义下 $a^{-1}\equiv a^{p-2}$。