ABC292解题报告

E. Transitivity

题意：有一张有向图，你需要在其中添加若干条边，满足对于任意 $a \to b, b \to c$ ，都有 $a \to c$ 。求最少的添加边数。 $n, m \leq 2000$ 。

首先可以转化为最少的总边数，再减去原有的 $m$ 条边。容易发现新图中存在 $a \to b$ ，当且仅当原图中 $a$ 能到达 $b$ 。所以问题转化为对每个点求它能到达的点数， $O (n m)$ 即可。（应该没人像我一样傻地写了个 tarjan+bitset 吧）

By SSRS

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
  int N, M;
  cin >> N >> M;
  vector<vector<int>> E(N);
  for (int i = 0; i < M; i++){
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    u--;
    v--;
    E[u].push_back(v);
  }
  int cnt = 0;
  for (int i = 0; i < N; i++){
    vector<bool> used(N, false);
    used[i] = true;
    queue<int> Q;
    Q.push(i);
    while (!Q.empty()){
      int v = Q.front();
      Q.pop();
      for (int w : E[v]){
        if (!used[w]){
          used[w] = true;
          Q.push(w);
        }
      }
    }
    for (int j = 0; j < N; j++){
      if (j != i && used[j]){
        cnt++;
      }
    }
  }
  cout << cnt - M << endl;
}

F. Regular Triangle Inside a Rectangle

题意：一个 $a \times b$ 的矩形里放正三角形，求最大边长。 $1 \leq a, b \leq 1000$ ，精度误差 $10^{- 9}$ 。

首先钦定 $a \geq b$ （否则交换）。

做法一

直接想感觉会有很多分类讨论，所以可以考虑二分答案。

对于一个边长 $x$ ，如果高超过 $b$ （即 $\frac{\sqrt{3}}{2} x > b$ ）则显然不可行，如果 $x \leq b$ ，则显然可行。否则，一定可以将其一个顶点放到一个角上，另一个顶点放到长边上，最后一个顶点悬空。如下图：

于是可以通过勾股定理求出 $y$ ，将 $x$ 边旋转 $60^{\circ}$ ，看是否超出矩形即可。

By cxm1024

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ld long double
const ld eps = 1e-12, sq3 = sqrt((ld)3);
int a, b;
bool check(ld x) {
	if (sq3 * x / 2 > b) return 0;
	if (x <= b) return 1;
	ld y = sqrt(x * x - b * b);
	return sq3 * b / 2 + y / 2 <= a;
}
signed main() {
	scanf("%d%d", &a, &b);
	if (a < b) swap(a, b);
	ld l = 0, r = 2000;
	while (l + eps <= r) {
		ld mid = (l + r) / 2;
		if (check(mid)) l = mid;
		else r = mid;
	}
	printf("%.11Lf\n", (l + r) / 2);
	return 0;
}

做法二

上面的做法显然比较麻烦，其实可以不二分答案而很快地求解。

首先容易发现，如果长边过长，超过了短边的 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 倍，则显然正着放最优，答案为短边的 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

否则，参考上面二分答案的过程可以发现，答案的 $x$ 一定是被长限制住了才不能增长，如下图：

此时便可以直接解出 $x$ 。

By SSRS

（注：这份代码里钦定 $a \leq b$ ）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
  cout << fixed << setprecision(20);
  int A, B;
  cin >> A >> B;
  if (A > B){
    swap(A, B);
  }
  if (B > A * 2 / sqrt(3)){
    cout << A * 2 / sqrt(3) << endl;
  } else {
    cout << hypot(B, A * 2 - B * sqrt(3)) << endl;
  }
}