P4363一双木棋-题解

~~本篇题解献给和我一样看不懂其他题解的状压DP小白~~

相信大家都是看了其他题解看不懂才看到这篇题解的（莫名自信），所以什么每行棋子数递减啊，每行的棋子都排在左边啊，就不用我多说了，直接切入正题（大段文字多，请耐心观看）。

轮廓线DP

没见过不用慌，我也没见过（雾

轮廓线，就是把矩阵从右上角到左下角沿着有棋子和没棋子的分界线描一下，往下走就用1表示，往左走就用0表示。这样我们就得到了一个01串，即一个二进制数，这就是我们的DP状态。

例如（图丑勿喷）

这种情况下轮廓线状态为左左下左下下左左下，即 $001011001_{(2)} = 89$

我们设 $f [s]$ （ $s$ 就是轮廓线状态）表示从轮廓线表示的局面一直下到最终下满的过程中“先手-后手”最大是多少。我们可以发现，只根据s就可以知道已经下了那些棋，但不能知道具体是黑棋还是白棋，然而根据 $f$ 的定义， $f [s]$ 的值和前面怎么下的没有关系，它只管之后怎么下，所以我们只用一维轮廓线就OK，不需要记录之前怎么下的。

那么状态有了，怎么转移呢？以上图为例，即将要白棋（后手）下棋，后手肯定希望他下的一步棋能使得从现在开始（以前的我们不管）先手-后手得分尽可能小（如果是负数那他更开心了），所以 $f [s] = min_{所有再下一步棋可能得到的方案 s^{'}} f [s^{'}] - b [x] [y]$ （ $x, y$ 就是即将下的那一步棋的坐标）。

同理，如果即将先手下，就把上面的式子里min改成max（因为他希望下这步棋能使得他的得分-对方的得分最大）， $- b [x] [y]$ 改成 $+ a [x] [y]$ 。

这样我们就可以用记忆化搜索很容易地跑出来了。

哎等等，我们还有两个问题没解决，观察上面的式子，我们还不知道怎么枚举“所有再下一步棋可能得到的方案 $s^{'}$ ”，也不知道怎么根据轮廓线的变化找出具体坐标x和y啊？

我们一个一个解决，先看第一个问题。还是以上图为例，白棋（后手）可以下在 $(1, 4), (2, 3), (4, 1)$ 三个位置，但转移的时候电脑只知道当前的轮廓线，所以我们需要找这三个点的共同特点，那就是处在轮廓线左和下的拐角处，也就是轮廓线中先出现一个0，再出现一个1。现在我们知道了轮廓线上放棋子的位置，怎么得出放棋子后的轮廓线状态呢？我们还是以上图为例，如果我们放在 $(2, 3)$ 处，进行一个对比。

原： $001011001_{(2)}$

新： $001101001_{(2)}$

我们发现只有第四位和第五位变了，而原先的第四位和第五位就是我们之前说的先出现一个0，再出现一个1，那么转移就是把0变成1，把1变成0。

具体来说，就是当我们枚举到一个 $i$ ，使得原状态的（从低位数）第 $i$ 位是1，第 $i + 1$ 位是0，那么就把状态异或上 $3 << i$ （可以对照例子手推一下）。

开始讨论第二个问题，我们知道该在轮廓线的哪一位上下棋，怎么知道那步棋的具体坐标呢？这个问题比较容易解决，只需要在枚举 $i$ 时维护当前看到哪个坐标即可（详见代码）。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
int a[20][20],b[20][20];
int f[1048580];
bool vis[1048580];
int dfs(int s,bool now)//s是轮廓线状态，now记录是先手还是后手（虽然可以根据s算出来，但这样比较方便）
{
	if(vis[s])//记忆化搜索标配
		return f[s];
	vis[s]=1;
	if(s==(1<<(n+m))-(1<<m))//已经填满棋子（即n个下加m个左）
		return 0;
	int num0=0,num1=0;//维护坐标（已经出现多少个左/多少个下
	if(now)//先手
	{
		f[s]=-2147483647;
		for(int i=0;i<n+m-1;i++)
		{
			num1+=((s&(1<<i))>>i);
			num0+=(!((s&(1<<i))>>i));
			if((s&(1<<i))>0&&(s&(1<<(i+1)))==0)
				f[s]=max(f[s],dfs(s^(3<<i),0)+a[n-num1+1][num0+1]);//递归计算
		}
		return f[s];
	}
	else//后手
	{
		f[s]=2147483647;
		for(int i=0;i<n+m-1;i++)
		{
			num1+=((s&(1<<i))>>i);
			num0+=(!((s&(1<<i))>>i));
			if((s&(1<<i))&&!(s&(1<<(i+1))))
				f[s]=min(f[s],dfs(s^(3<<i),1)-b[n-num1+1][num0+1]);//递归计算
		}
		return f[s];
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>a[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>b[i][j];
	cout<<dfs((1<<n)-1,1)<<endl;
	//(1<<n)-1是初始状态，即m个左加n个下（一步棋也没下）
	return 0;
}