Gym100078H-History-of-Football题解

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题意：有 $n$ 支球队，每两支球队之间都会进行一场较量，赢者积 $3$ 分，输者积 $0$ 分，如果平局则各积 $1$ 分。给出每支球队的最终积分，求方案数。$n\le 8$。

首先考虑常规搜索。直接搜索每两支球队的比赛结果，中途可以进行可行性剪枝：如果当前球队剩下的比赛全赢也不能超过目标得分则直接返回；如果当前球队已经超过了目标的分则直接返回。关于搜索的顺序，可以每次只考虑一支球队，搜索时改变第二支球队，搜完这支球队后直接检查是否合法。反映在积分矩阵上则为按行搜索。

以上的做法虽然可以通过本题，但跑得非常慢，于是考虑进一步优化。

首先，我们可以使用两层搜索嵌套的思路来实现：外层搜索考虑“当前球队”，内层搜索考虑“和其他球队如何匹配”。为了代码实现简便，这里外层搜索倒序搜索。搜索的过程中维护一个数组（具体可用 vector），表示每个球队还剩多少积分等待匹配。由于是倒序搜索，每搜一支球队一定是将积分全部耗光（否则不合法），所以可以直接从 vector 里删除最后一个元素。内层搜索时顺序考虑每一支球队，考虑和最后一支球队形成什么结果。递归时改变数组中的值，回溯时恢复即可。

有了框架，考虑如何剪枝。一个直接的剪枝与常规搜索一样，为：如果当前球队剩下的比赛全赢也达不到剩下的目标得分（因为这里数组存的是还剩多少积分等待匹配）。还可以有一个剪枝：搜索时维护当前的剩余积分之和，由于每进行一场比赛都会产生 $2$ 或 $3$ 分的总积分值，所以可以根据剩下的积分和以及剩下的局数进行一次剪枝。

接下来就到了这个做法最核心的地方：这个搜索可以进行记忆化。在外层搜索中，对于固定的“剩余数组”，剩余的匹配方式的方案数不变，而相同的“剩余数组”是非常容易重复计算的，比如 $a\to c,b-d$ 和 $a-d,b\to c$ 在考虑 $c,d$ 时的剩余数组是相同的（箭头表示打败的情况）。由于记忆化的内容为一个数组，所以可以使用哈希的方式来保存。

By cxm1024, from Myth5

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int hsh(vector<int> &a) {
	long long res=0;
	for(int v:a) res=(res*31+v)%mod;
	return res;
}
unordered_map<int,int> mp;
int dfs_out(vector<int> &a,int sum);
int dfs_in(vector<int> &a,int now,int sum) {
	int n=a.size(),res=0;
	if(a.back()>(n-1-now)*3) return 0;
	//剪枝一
	if(sum<(n*(n-1)/2-now)*2||sum>(n*(n-1)/2-now)*3) return 0;
	//剪枝二
	if(now==n-1) {
		vector<int> b(a.begin(),a.end()-1);
		return dfs_out(b,sum);
		//考虑完一支球队，进行下一支
	}
	if(a[now]>0&&a.back()>0) {
		a[now]--,a.back()--;
		if(a[now]<=(n-1-1)*3)//相当于对now提前进行剪枝一
			res+=dfs_in(a,now+1,sum-2);
		a[now]++,a.back()++;
	}//平局
	if(a[now]>=3) {
		a[now]-=3;
		//这里没必要剪枝，因为如果能剪掉，在上一层就已经被剪掉了
		res+=dfs_in(a,now+1,sum-3);
		a[now]+=3;
	}//内层的球队赢
	if(a.back()>=3) {
		a.back()-=3;
		if(a[now]<=(n-1-1)*3)//提前剪枝一
			res+=dfs_in(a,now+1,sum-3);
		a.back()+=3;
	}//当前考虑的外层球队赢
	return res;
}
int dfs_out(vector<int> &a,int sum) {
	if(a.empty()) return 1;
	//已经清空说明经受住了所有剪枝的考验，一定合法
	int tmp=hsh(a);
	if(mp.count(tmp)) return mp[tmp];
	//记忆化
	return mp[tmp]=dfs_in(a,0,sum);
}
signed main() {
	freopen("history.in","r",stdin);
	freopen("history.out","w",stdout);
	int n,sum=0;
	cin>>n;
	vector<int> a;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x;
		cin>>x;
		a.push_back(x);
		sum+=x;
	}
	cout<<dfs_out(a,sum)<<endl;
	return 0;
}