CFR-838-Div-2解题报告

A. Divide and Conquer

题意：给你一个数组，每次操作可以将一个数变为它除以二下取整，求将数组的和变为偶数的最小次数。

显然如果数组本来就是偶数，则为 $0$ ，否则一定是选一个数一直除到改变，而其他数不动（动了显然更劣）。于是对于每个数求改变奇偶的最小次数，模拟即可。

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;

    std::vector<int> a(n);
    int par = 0;
    int mn = 1E9;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> a[i];
        par ^= a[i] & 1;
        int x = a[i], t = 0;
        while (x % 2 == a[i] % 2) {
            x /= 2;
            t++;
        }
        mn = std::min(mn, t);
    }

    std::cout << (par ? mn : 0) << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int t;
    std::cin >> t;

    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

B. Make Array Good

题意：有一个数组，每次可以将一个数 $x$ 改为 $[x, 2 x]$ 内的任意整数，求在 $n$ 次以内将这个数组改为任意两个数均有倍数关系的方案。

由于在 $[x, 2 x]$ 内，容易想到让它们均变为二的幂（此时一定合法）。于是对于每个数改为比他大的最近的二的幂即可。可以使用 $2^{⌊ \log_{2} (n) ⌋ + 1}$ 来快速得出。

By jiangly

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;

    std::vector<int> a(n);
    std::cout << n << "\n";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> a[i];
        int p = 1 << (std::__lg(a[i]) + 1);
        std::cout << i + 1 << " " << p - a[i] << "\n";
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int t;
    std::cin >> t;

    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

C. Binary Strings are Fun

给你一个 $01$ 串，对于每个前缀，计算生成合法串的方案数，输出它们的和（对 $998244353$ 取模）。生成一个合法串，需要在每相邻两位之间插入一个新位，使得任意一个奇数前缀的中位数为末尾的数字。

首先举例子找一找规律。假设待生成的串为 0_0_1_1_0_1_1_1，下划线是需要填的。我们依此考虑：只考虑前三位，中位数为 $0$ ，所以第一个空填 $01$ 都可以；考虑前五位，中位数为 $1$ ，所以第一个和第二个空都必须填 $1$ ；前七位，第四个空 01 都可以；前九位，则第三个和第四个空只能填 $0$ 。

依此类推，我们发现，如果某一个“限制位置”和下一个“限制位置”不同，那么中位数在这两位后发生改变，所以这两位之间的空位必须填后面的值，且前面这两位的数量差只能为 $1$ 。如果某一个限制位置和下一个限制位置相同，那么必须填与它们相反的值，因为如果与它们相同，则数量差超过 $1$ ，而后面一个不同的位置就会无法填。

所以，只有一个位置后面没有不同位置时，才可以真正的任意填，否则只有一种方案。此时答案就很显然了，即为 $2$ 的（最后一段连续的长度 $- 1$ ）次方。

By jiangly

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;

    std::string s;
    std::cin >> s;

    int last = 0;
    Z ans = 0, sum;

    for (auto c : s) {
        if (last != c) ans = 1;
        else ans *= 2;
        last = c;
        sum += ans;
    }

    std::cout << sum << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int t;
    std::cin >> t;

    while (t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

D. GCD Queries

题意：交互题。有一个 $0 \sim n - 1$ 的排列，每次可以询问两位的 $gcd$ ，在 $2 n$ 次操作内给出两个位置，使得它们中的一个位置为 $0$ 。

首先有一个非常重要的性质： $\forall y, gcd (x, 0) \geq gcd (y, 0)$ 。所以我们可以依此扫描每个位置，维护当前扫到的可能为 $0$ 的两个位置 $x, y$ 。

初始时 $x = 1, y = 2$ ，从 $3$ 开始，对于每个位置 $i$ ，询问 $gcd (p_{x}, p_{i})$ 和 $gcd (p_{y}, p_{i})$ ，如果两个答案相同，那么 $p_{i}$ 不可能是 $0$ （因为 $gcd (0, x) = x$ ，而排列里 $x$ 互不相同）；如果两个答案不同，那么 $x, y$ 中较小的那个一定不是 $0$ （因为前面的性质），而 $p_{i}$ 有可能是 $0$ ，将较小的那个改为 $i$ 即可。

By cxm1024

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main() {
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) {
		int n;
		cin>>n;
		int now=2,x=1,y=2,xx,yy;
		while(now<n) {
			now++;
			cout<<"? "<<x<<" "<<now<<endl;
			cin>>xx;
			cout<<"? "<<y<<" "<<now<<endl;
			cin>>yy;
			if(xx>yy) y=now;
			else if(yy>xx) x=now;
		}
		cout<<"! "<<x<<" "<<y<<endl;
		cin>>n;
		assert(n==1);
	}
	return 0;
}