CFR-755-Div-2解题报告

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赛时AC三道，补题做出一道。

A. Mathematical Addition

{% note info no-icon Problem %}
给你两个正整数 \(u,v\)，求一对合法的 \(x,y\) 使得 \(\frac{x}{u}+\frac{y}{v}=\frac{x+y}{u+v}\)。

解方程。

\[\begin{array}{c} \frac{vx+uy}{uv}=\frac{x+y}{u+v} \\ (vx+uy)(u+v)=uv(x+y) \\ uvx+u^2y+v^2x+uvy=uvx+uvy \\ u^2y+v^2x=0 \end{array} \]

则显然一组合法解为 \(\begin{cases}x=-u^2\\y=v^2\end{cases}\)

B. Coloring Rectangles

{% note info no-icon Problem %}
有一个 \(n\times m\) 的矩阵，每个方格均为红色。你可以任意多次的横切或纵切（必须贯穿整块），不能出现 \(1\times 1\) 的矩阵，问切完后最少需要涂几个蓝色格子才能使得红色格子不相邻。

example: \(2\times 5\)

{% endnote %}

{% tabs Solution %}

容易发现，把格子割成 \(1\times 3\) 是最优的，于是考虑在不对后续操作产生影响的前提下，把它切成这样：

然后再切成这样：

最后特判剩下的。注意切的时候要时刻堤防剩下一行或剩下一列的情况，防止出现 \(1\times 1\)。

通过找规律，我们可以发现，答案为 \(\lceil\frac{n\times m}{3}\rceil\)。

{% endtabs %}

C. Two Arrays

{% note info no-icon Problem %}

给你两个数组 \(a,b\)，问能否通过把 \(a\) 进行一次变换得到 \(b\)。

变换方式：在 \(a\) 数组中选出若干个数分别 \(+1\)，然后随意排列顺序。

{% endnote %}

大水题。\(a,b\) 分别排序，看是否每个 \(a\) 数组的元素都等于 \(b\) 的对应元素或等于 \(b\) 的对应元素 \(+1\)。

D. Guess the Permutation

{% note info no-icon Problem %}

这是一道交互题。

有一个初始数组 \(a\)，满足 \(a_i=i\)，即 \({1,2,3...}\)。现在有 \(1<=i<j<=k<=n\)，将 \([i,j-1],[j,k]\) 分别翻转。你需要通过不超过 \(40\) 次询问得到 \(i,j,k\) 的值。

每一次询问你可以给出 \(l,r\)，得到 \([l,r]\) 中的逆序对个数。

\(n\le 10^9(\log_2(10^9)\approx 30)\)

{% endnote %}

1. 用一次 \(\log\) 找到 \(k\)：二分 \(mid\)，询问 \([mid,r]\) 中逆序对个数，如果不为 \(0\)，则 \(k\) 在 \([mid+1,r]\) 中，否则在 \([l,mid]\) 中。
2. 用两次询问 \([1,k]\) 和 \([1,k-1]\) 来获得 \(j\) 的位置：一段降序区间 \([l,r]\) 的逆序对数减去 \([l,r-1]\) 的逆序对数等于 \(len-1\)，于是 \([1,k]-[1,k-1]=len_{[j,k]}-1\)（\(j\) 前面的都被抵消了），用 \(k-(len-1)\) 即可求出 \(j\)。
3. 同理用两次询问 \([1,j-1]\) 和 \([1,j-2]\) 来获得 \(i\) 的位置。

询问次数约为 \(\log(n)+4\)。

不开 long long 见祖宗（逆序对个数最多有 \(n^2\) 级别）。