CFR-755-Div-2解题报告

赛时AC三道，补题做出一道。

A. Mathematical Addition

{% note info no-icon Problem %}
给你两个正整数 $u, v$ ，求一对合法的 $x, y$ 使得 $\frac{x}{u} + \frac{y}{v} = \frac{x + y}{u + v}$ 。

解方程。

\begin{matrix} \frac{v x + u y}{u v} = \frac{x + y}{u + v} \\ (v x + u y) (u + v) = u v (x + y) \\ u v x + u^{2} y + v^{2} x + u v y = u v x + u v y \\ u^{2} y + v^{2} x = 0 \end{matrix}

则显然一组合法解为 ${\begin{cases} x = - u^{2} \\ y = v^{2} \end{cases}$

{% note info no-icon Problem %}
有一个 $n \times m$ 的矩阵，每个方格均为红色。你可以任意多次的横切或纵切（必须贯穿整块），不能出现 $1 \times 1$ 的矩阵，问切完后最少需要涂几个蓝色格子才能使得红色格子不相邻。

example: $2 \times 5$

{% endnote %}

{% tabs Solution %}

容易发现，把格子割成 $1 \times 3$ 是最优的，于是考虑在不对后续操作产生影响的前提下，把它切成这样：

然后再切成这样：

最后特判剩下的。注意切的时候要时刻堤防剩下一行或剩下一列的情况，防止出现 $1 \times 1$ 。

通过找规律，我们可以发现，答案为 $⌈ \frac{n \times m}{3} ⌉$ 。

{% endtabs %}

{% note info no-icon Problem %}

给你两个数组 $a, b$ ，问能否通过把 $a$ 进行一次变换得到 $b$ 。

变换方式：在 $a$ 数组中选出若干个数分别 $+ 1$ ，然后随意排列顺序。

{% endnote %}

大水题。 $a, b$ 分别排序，看是否每个 $a$ 数组的元素都等于 $b$ 的对应元素或等于 $b$ 的对应元素 $+ 1$ 。

{% note info no-icon Problem %}

这是一道交互题。

有一个初始数组 $a$ ，满足 $a_{i} = i$ ，即 $1, 2, 3. . .$ 。现在有 $1 <= i < j <= k <= n$ ，将 $[i, j - 1], [j, k]$ 分别翻转。你需要通过不超过 $40$ 次询问得到 $i, j, k$ 的值。

每一次询问你可以给出 $l, r$ ，得到 $[l, r]$ 中的逆序对个数。

$n \leq 10^{9} (\log_{2} (10^{9}) \approx 30)$

{% endnote %}

用一次 $\log$ 找到 $k$ ：二分 $m i d$ ，询问 $[m i d, r]$ 中逆序对个数，如果不为 $0$ ，则 $k$ 在 $[m i d + 1, r]$ 中，否则在 $[l, m i d]$ 中。
用两次询问 $[1, k]$ 和 $[1, k - 1]$ 来获得 $j$ 的位置：一段降序区间 $[l, r]$ 的逆序对数减去 $[l, r - 1]$ 的逆序对数等于 $l e n - 1$ ，于是 $[1, k] - [1, k - 1] = l e n_{[j, k]} - 1$ （ $j$ 前面的都被抵消了），用 $k - (l e n - 1)$ 即可求出 $j$ 。
同理用两次询问 $[1, j - 1]$ 和 $[1, j - 2]$ 来获得 $i$ 的位置。