CFR-745-Div-2解题报告
没打比赛，赛后做出3道。
这场比赛题目质量很高，非常巧妙。
A. CQXYM Count Permutations
\(Problem\)
求有多少 \(2n\) 的排列满足存在超过 \(n\) 个 \(i\) 使得 \(p_i<p_{i+1}\)，答案对 \(10^9+7\) 取模。
\(\sum n\le 10^5\)
\(Solution\)
这题就非常巧妙了，当我们使劲想想不出来时，正难则反，考虑有多少 \(2n\) 的排列满足存在超过 \(n\) 个 \(i\) 使得 \(p_i>p_{i+1}\)，这时候我们就会发现：这不是一样吗？没错，答案就是 \(\frac{(2n)!}{2}\)。
B. Diameter of Graph
\(Problem\)
每次给定 \(n,m,k\) 问能不能构造一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的简单无向图使得图的直径小于 \(k-1\)。
一张图的直径定义为最短路最长的两个点的最短路长度。
\(t\le 10^5,n,m,k\le 10^9\)
\(Solution\)
始终没有明白为什么要“小于 \(k-1\)”，直接 k-=2 后变成 \(\le k\)。
考虑这道题可以转化为构造一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的直径尽可能小的图。
首先判断能否连通，即 \(m<n-1\)，然后判断是否必须有重边，即 \(m>\frac{n(n-1)}{2}\)，如果出现这两种情况则为不合法，直接排除。而且，如果 \(k<1\)，也直接排除，因为不可能存在两个点的距离 \(<1\)。
然后考虑能否构造出直径为 \(1\) 的图。我们发现只有完全图的直径为 \(1\)，因为任意两个点都可以直径过 \(1\) 条边到达。所以，如果 \(k=1\)，只有完全图才成立，否则不成立。接着在考虑能否构造出直径为 \(2\) 的图。我们会发现只要图连通，就一定能构造出来直径为 \(2\) 的图，因为菊花图的直径为 \(2\)，而在菊花图上加边不会让直径变大，所以只要 \(k>1\) 就一定能构造出来。
C. Portal
\(Problem\)
给定一张 \(n\times m\) 的矩阵，每个格子有空和黑曜石两种状态，你可以花费一步操作将空格子变成黑曜石或将黑曜石变成空格子。一个子矩阵可以形成传送门需要具备以下条件：
- 高度 \(\ge 5\)，宽度 \(\ge 4\)。注意，传送门不能横过来看，宽就是宽，高就是高。
- 中间部分必须全是空格子。
- 四周边框必须全是黑曜石。
- 四角不限。
问至少需要几次操作才能搭建一个传送门。
\(\sum n\le 400,\sum m\le 400\)
\(Solution\)
这道题我从9月30号读题一直到10月8号才做出来，历尽了千辛万苦。
记输入的矩阵为 \(a\)，用 \(0\) 表示空格，\(1\) 表示黑曜石。
首先预处理出每一行的前缀和，以便我们 \(O(1)\) 查询一段横向区间里有多少块黑曜石，我们用 \(s[i][j]\) 表示。
然后，枚举合法的左右边界（\(r-l\ge 3\)），我们记 \(len=r-l-1\) 表示中间部分的宽度，对于每一个左右边界，记 \(t[i]\) 表示前 \(i\) 行全变成 \(100...001\) 的格式需要花费的步数，本质上是竖向的前缀和：\(t[i]=t[i-1]+(s[i][r-1]-s[i][l])+(2-a[i][l]-a[i][r])\)。然后我们考虑如何 \(O(1)\) 计算搭建一段以 \(u\) 为上边界，\(d\) 为下边界的传送门的步数：首先让中间和左右边框合法（\(t[d-1]-t[u]\)），再让上边框合法（\(len-(s[u][r-1]-s[u][l])\)），同理再让下边框合法（\(len-(s[d][r-1]-s[u][l])\)）。加起来，则为：
\(t[d-1]-t[u]+(len-(s[d][r-1]-s[d][l]))+(len-(s[u][r-1]-s[u][l]))\)
将与 \(u,d\) 有关的项分开，方便处理：
\(2len+(t[d-1]-s[d][r-1]+s[d][l])-(t[u]+s[u][r-1]-s[u][l])\)
我们记 \(f[i]=t[i-1]-s[i][r-1]+s[i][l],g[i]=t[i]+s[i][r-1]-s[i][l]\)，则上式可简化为 \(2len+f[d]-g[u]\)。
现在考虑从上到下扫下边界，对于每一个下边界，我们要使步数尽可能小，即让 \(2len+f[d]-g[u]\) 尽可能小，就要让 \(g[u]\) 尽可能大，于是我们从上到下扫的时候，记录以下当前扫过的 \(g[u]\) 的最大值 \(maxn[i]=\max(maxn[i-1],g[i])\)，那么对于每一个下边界 \(d\)，最小步数就为 \(2len+f[d]-maxn[d-4]\)，整个算法的时间复杂度就可以做到 \(O(m^2n)\)。
