CFR-744-Div-3解题报告

赛时 AC 2道题，掉大分（哭）

A. Casimir's String Solitaire

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$Problem$

给你一个仅含 A,B,C 的字符串，每次可以删掉一个 A 和一个 B，或一个 B 和一个 C，位置、顺序不限，问能不能删完。

$t\le 1000,len\le 50$

$Solution$

大水题，只需要判断 A 的数量加 C 的数量是否等于 B 的数量。一开始脑抽还判断 A 的数量是否等于 C 的数量

B. Shifting Sort

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$Problem$

定义对一段区间的 Cyclically Shift（以下简称Shift） 操作为：

1. 指定一个数 $x(x\le len)$ 为操作的周期。
2. 每次将区间左移一位，移出去的那一位放到最右边，重复 $x$ 次。

给你一个数列 $a$，问如何用不超过 $n$ 次 Shift 操作将 $a$ 排好序（不要求使用次数最少，只要不超过 $n$ 就行）。

$1\le t\le 1000,2\le n\le 50$

$Solution$

注意只要求不超过 $n$ 次，也就意味着我们只需要每一次把一个数排好序就行了。我们可以每次挑选最大的数，通过一次 Shift 操作（$x=1$）将它移到最右边的位置，如果已经在该在的位置就不操作，每次都能将一个数归位，重复 $n$ 次即可。

eg.

原序列
2 5 1 4 3
将5归位
2 1 4 3 5
将4归位
2 1 3 4 5
将2归位
1 2 3 4 5

由于 $n$ 很小，暴力找最大值就可以。

C. Ticks

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$Problem$

给你一个 $n\times m$ 的网格图，每个格子有 * 和 . 两种状态，* 表示填，. 表示不填，问能不能通过若干个大小超过 $k$ 的“V字形”表示出这个图形（V 的两条边必须一样长，机房的两位大佬就是没判断这个而 FST 了）。

“V字形”大小的定义：

*...*
.*.*.
..*..

的大小为 $2$。

$1\le k\le n\le 10,1\le m\le 19$

$Solution$

注意到 $n$ 和 $m$ 的范围很小，完全可以通过暴力求解。对于每一个格子，尽可能多的往上延伸，如果超过 $k$ 就把覆盖格子的标记一下，最后判断是否都被覆盖完。

D. Productive Meeting

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$Problem$

在一场见面会中有 $n$ 个人，会议开始后他们会两两交谈，每个人有一定的耐心值 $a_i$，第 $i$ 个人在交谈 $a_i$ 次后会离开会议，两个人可以交谈多次，请找出一种方案使得总交谈次数尽可能多。

$1\le t\le 1000,\sum n\le 2\times {10}^5,\sum a_i\le 2\times {10}^5$

$Solution$

由于 $\sum a_i$ 不大，我们可以依次考虑每一次交谈，容易想到每次让耐心值最大的两个人交谈是最优方案。

实现 1

先排好序，每次让剩余耐心值最大的两个人交谈，耐心值--，在考虑维护序列单调性，可以通过一通 lower_bound 和 upper_bound 以及 swap 来实现，时间复杂度 $O((\sum a_i)\log (n))$。

实现 2

使用 lower_bound 和 upper_bound 来维护需要考虑一大堆细节（我调错调了一下午加一晚上），不如用堆来维护。每次从堆里拿出两个耐心值最大的人，耐心值--，如果还有剩余耐心值，就把他们再扔回堆里，用 STL 的优先队列实现非常简洁，时间复杂度也是 $O((\sum a_i)\log (n))$。

E1. Permutation Minimization by Deque

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在 Codeforces 中首次被 hack 祭。

$Problem$

给你一个 $1-n$ 的排列，你需要把它们按顺序扔进双端队列里，你可以决定从哪一端扔。需要使得最终双端队列里的数的字典序最小。

$1\le t\le 1000,\sum n\le 2\times {10}^5$

$Solution1$

由于要让字典序最小，肯定最小的值放在最前面，最小值之前的数的放法先不管，放完最小值之前的数之后在把最小值放在最前面，最小值后面的数就只能从后面挨个放了。而最小值之前的数我们可以递归处理。

具体实现中我们需要用 ST 表维护区间最小值，再用分治递归的方法实现。

$Solution2$

从通过人数上看，这道题的简单程度可是仅次于 A 题，怎么会这么复杂呢？

考虑用贪心的思想，先扔进去第一个数，以后对于每一个数，如果它比队首小，就扔到队首（这样可以让结果的字典序尽可能小），否则就扔到队尾（如果还扔到队首字典序就大了）。就是这么简单。

E2. Array Optimization by Deque

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$Problem$

给你一个长度为 $n$ 的数列（注意不是排列），你需要把它们按顺序扔进双端队列里，你可以决定从哪一端扔。需要使得最终双端队列里的逆序对尽可能少。

$1\le t\le 1000,\sum n\le 2\times {10}^5,-{10}^9\le a_i\le {10}^9$

$Solution$

同样是贪心，对于每个数，如果放在队首，则贡献的逆序对数为前面比它小的数的个数，反之则为比它大的数的个数，这个数放在队首还是队尾对以后的方法不会产生干扰，所以只需要判断它前面是比它大的多还是比它小的多，这可以用树状数组或权值线段树维护。由于 $a_i$ 的值跨度过大，需要先进行离散化处理。