AGC043D-Merge-Triplets题解

题意：有 $1 \sim 3 n$ 的正整数，不重不漏地划分到 $n$ 个栈内，每个栈有 $3$ 个元素。每次从所有栈顶中选择最小的元素取出，直至取完，每次取的元素生成了一个 $1 \sim 3 n$ 的排列，求该排列的方案数。

考虑排列应该长什么样。从左往右考虑不好考虑，因为没法确定一开始选什么元素，所以可以从右往左考虑。注意到，最大的元素 $3 n$ 一定只会在没有别的栈顶可选的时候才会选，此时只剩一个栈，栈顶为 $3 n$ 。选完 $3 n$ 后，栈中剩下的 $0 \sim 2$ 个元素一定都会依次选完。所以，元素 $3 n$ 和剩下的 $0 \sim 2$ 个其他元素一定会出现在排列的末尾。由于有 $3 n$ 阻挡，剩下的 $0 \sim 2$ 个元素在之前不会参与任何比较过程，所以之前的部分不需要考虑这 $1 \sim 3$ 个元素。在剩下的元素中再找最大值，反复这一过程即可。

一个非常重要的性质为，最大的元素 $3 n$ 后面的 $0 \sim 2$ 个元素是什么，对之前的方案数不会有任何影响，所以可以考虑一个 DP： $f [i]$ 表示取到还剩 $i$ 个元素的方案数，则 $f [i] = f [i + 1] + f [i + 2] \cdot (i + 1) + f [i + 3] \cdot (i + 1) \cdot (i + 2)$ ，其中转移的系数表示被阻挡的 $0 \sim 2$ 个元素任意取。

这个 DP 其实是不对的，因为并不是任意分组都可以有解，还要让这些分组必须能完整地放到 $n$ 个大小为 $3$ 的栈内。显然大小为 $3$ 的组（最大值搭配后面两个元素）独占一个栈，一个大小为 $2$ 的组（最大值搭配后面一个元素）必须和一个大小为 $1$ 的组匹配，而大小为 $1$ 的组可以自己匹配。这就要求大小为 $2$ 的组的数量不能超过大小为 $1$ 的数量。于是可以记录第二维状态： $f [i] [j]$ 表示取到还剩 $i$ 个元素，大小为 $1$ 的组数-大小为 $2$ 的组数等于 $j$ 的方案数，则转移时更改一下 $j$ 的值即可。统计答案时只计算最终状态 $j \geq 0$ 的状态答案。

为了防止下标出现负数，可以往正方向平移 $2 n$ 。复杂度 $3 n \times 5 n = O (n^{2})$ 。

By cxm1024

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,mod,f[6010][15010];
signed main() {
	cin>>n>>mod;
	f[n*3][n*2]=1;
	for(int i=n*3;i>0;i--)
		for(int j=0;j<=n*5;j++) {
			if(i>=3) (f[i-3][j]+=1ll*f[i][j]*(i-1)*(i-2)%mod)%=mod;
			if(i>=2) (f[i-2][j-1]+=1ll*f[i][j]*(i-1)%mod)%=mod;
			(f[i-1][j+1]+=f[i][j])%=mod;
		}
	int ans=0;
	for(int i=n*2;i<=n*5;i++)
		(ans+=f[0][i])%=mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}