ABC-282解题报告

C. String Delimiter

题意：有一个包含字母、双引号（保证有偶数个，相邻两个匹配）和逗号的字符串，将在双引号外的逗号改为句号。

维护当前在双引号里还是外，遇到双引号更改即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
  int N;
  cin >> N;
  string S;
  cin >> S;
  bool c = false;
  for (int i = 0; i < N; i++){
    if (S[i] == '"'){
      c = !c;
    }
    if (S[i] == ',' && !c){
      S[i] = '.';
    }
  }
  cout << S << endl;
}

D. Make Bipartite 2

题意：给你一个无向图，判断有多少无序点对 $(x, y)$ 满足之间没有边，且连接之后为二分图。

对于一个连通块，生成二分图的方式是唯一的，且加边不会导致一个非二分图变为二分图。于是只要有一个连通块不是二分图，答案一定为 $0$ 。

对于不为 $0$ 的情况，可以预处理每个连通块两边的点数，对于连通块内部的边，一定是左边连向右边，方案数为两边点数之积。对于连通块之间的边，任意连边都可以。在第一种情况中，有 $(x, y)$ 之间有边的情况，所以最后减去 $m$ 即可。正确性容易证明。

By wygz

const int maxn=(2e5)+10;
int n,m,cnt[2];
int col[maxn]; vector<int> g[maxn];
ll C2(ll x) { return x*(x-1)/2; }
ll ans;
void dfs(int u) {
	cnt[col[u]-1]++;
	for (int &v : g[u]) {
		if (col[v]&&col[v]==col[u]) { puts("0"); exit(0); }
		if (col[v]) continue;
		col[v]=3-col[u];
		dfs(v);
	}
}
int main() {
	read(n),read(m);
	int x,y; for (int i=1;i<=m;i++) {
		read(x),read(y);
		g[x].push_back(y),g[y].push_back(x);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) if (!col[i]) {
		cnt[0]=cnt[1]=0;
		col[i]=1,dfs(i);
		ans-=C2(cnt[0]),ans-=C2(cnt[1]);
	}
	ans-=m;
	ans+=C2(n);
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}

还有一种维护二分图的方法，将一个点 $i$ 拆成两个点 $i, i^{'}$ （实现上可以用 $i + n$ ），原图中连一条边 $u, v$ 时，我们连接 $u, v^{'}$ 和 $v, u^{'}$ 。此时维护的图中一条边 $x, y$ 表示 $x, y$ 异色。如下图：

左边的图为原图，右边为维护的图。容易发现，左边的图为二分图，而右边的图可以拆成红黑两部分。左边红色的点 $1, 4$ 为原二分图中的一边，左边黑色的点 $2, 3$ 为原二分图中的另一边。

显然，如果两个点 $u, v$ 在二分图的两侧，那么 $u, v$ 一定不连通， $u, v^{'}$ 一定连通。于是有点 $u$ 和 $u^{'}$ 一定不连通。

什么时候不是二分图呢？如下图，连接 $2, 3$ ：

加上这条蓝色边后，可以发现维护的图合并成了一部分。此时点 $u$ 和点 $u^{'}$ 变得连通，就无法产生二分图。这种二分图的表示可以很容易用并查集维护，加完边最后判断每个 $u$ 和 $u^{'}$ 是否连通即可。二分图两边点的个数也可以很容易地用并查集统计（红点之间相连，黑点之间相连）。

By drogskol

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#include <atcoder/dsu>
using namespace atcoder;

using ll=long long;

int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  ll n,m;cin>>n>>m;
  ll ans=n*(n-1)/2-m;

  dsu uf(n*2);
  while(m--){
    int u,v;cin>>u>>v;u--;v--;
    uf.merge(u,v+n);
    uf.merge(v,u+n);
  }

  map<int,int> mp;
  for(int i=0;i<n;i++){
    if(uf.same(i,i+n)){
      cout<<0<<endl;
      return 0;
    }
    ans-=mp[uf.leader(i)]++;
  }

  cout<<ans<<endl;
}

E. Choose Two and Eat One

题意：有 $n$ 个有权值的球，每次可以选两个球 $a_{i}, a_{j}$ ，造成 $({a_{i}}^{a_{j}} + {a_{j}}^{a_{i}}) mod m$ 的贡献，并选择一个球删掉。问剩一个球时的最大贡献。

由于贡献的式子没有规律，所以不能从 $a_{i}$ 的角度贪心，而思考一下会发现 DP 状态也设不了，于是考虑其他思路。

我们将每个球 $i$ 被删掉的时候与别的球 $j$ 造成的贡献看为一条从 $i$ 连向 $j$ 的边，显然每个 $i$ （除了最后一个点）有一条出边，但可能有多个入边。容易发现此为一个树形结构。而两个球的贡献同样可以在图上表示出来，为一个完全图。所以，答案即为图上最大生成树的权值。将最小生成树算法反向操作即可。

By SSRS

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long modpow(long long x, long long y, long long M){
  long long ans = 1;
  while (y > 0){
    if (y % 2 == 1){
      ans *= x;
      ans %= M;
    }
    x *= x;
    x %= M;
    y /= 2;
  }
  return ans;
}
struct unionfind{
  vector<int> p;
  unionfind(int N){
    p = vector<int>(N, -1);
  }
  int root(int x){
    if (p[x] < 0){
      return x;
    } else {
      p[x] = root(p[x]);
      return p[x];
    }
  }
  bool same(int x, int y){
    return root(x) == root(y);
  }
  void unite(int x, int y){
    x = root(x);
    y = root(y);
    if (x != y){
      if (p[x] < p[y]){
        swap(x, y);
      }
      p[y] += p[x];
      p[x] = y;
    }
  }
};
int main(){
  int N, M;
  cin >> N >> M;
  vector<int> A(N);
  for (int i = 0; i < N; i++){
    cin >> A[i];
  }
  vector<tuple<int, int, int>> E;
  for (int i = 0; i < N; i++){
    for (int j = i + 1; j < N; j++){
      E.push_back(make_tuple((modpow(A[i], A[j], M) + modpow(A[j], A[i], M)) % M, i, j));
    }
  }
  sort(E.begin(), E.end(), greater<tuple<int, int, int>>());
  unionfind UF(N);
  long long ans = 0;
  for (int i = 0; i < N * (N - 1) / 2; i++){
    int c = get<0>(E[i]);
    int u = get<1>(E[i]);
    int v = get<2>(E[i]);
    if (!UF.same(u, v)){
      UF.unite(u, v);
      ans += c;
    }
  }
  cout << ans << endl;
}