潍泰联测好题集锦

minosi

题意：有一个 $n\times m$ 的矩阵，每个格子有黑白两种颜色。所有黑色的格子只能从左方或上分进入，白色格子只能从右方或下方进入。求是否能走恰好 $k$ 步从 $(1,1)$ 走到 $(n,m)$。$n\times m\le 300,k\le {10}^6$。

做法一

可以直接 $O(nmk)$ DP。令 $f[k][i][j]$ 表示从 $(1,1)$ 走 $k$ 步是否能走到 $(i,j)$，则

$$f[k][i][j]=\{\begin{array}{ll}f[k-1][i-1][j]\mathtt{\text{ or }}f[k-1][i][j-1]& (i,j)\text{ is black}\\ f[k-1][i+1][j]\mathtt{\text{ or }}f[k-1][i][j+1]& (i,j)\text{ is white}\end{array}$$

空间上可以使用滚动数组优化掉第三维。

这种做法虽然可以通过，但没有达到极限。我们可以考虑将格子从 $1$ 到 $nm$ 按正常顺序编号（即 $(i,j)\to (i-1)\cdot m+j$），则设 $f[k][x]$ 表示恰好走 $k$ 步是否能做到编号为 $x$ 的节点。转移类似，用编号法表示一下即可：

$$f[k][x]=\{\begin{array}{ll}f[k-1][x-1]\mathtt{\text{ or }}f[k-1][x-m]& (i,j)\text{ is black}\\ f[k-1][x+1]\mathtt{\text{ or }}f[k-1][x+m]& (i,j)\text{ is white}\end{array}$$

这样的好处是什么呢？由于 $f$ 的值只能为 $0/1$，所以我们可以使用 bitset 来存某一个 $k$ 的所有位置的可达性，则对于所有黑格子，$f[k]=(f[k-1]>>1)|(f[k-1]>>m)$，白格子类似。

对于黑白格子的区分，预处理两个 bitset 表示格子颜色，需要提取某种颜色时按位与一下即可。还有一点需要注意，就是判断格子的边界。无法从上一行的最后一列转移到这一行的第一列，特殊处理一下即可。时间复杂度 $O(\frac{nmk}{\omega })$。

做法二

倍增优化传递闭包。

未完待续...

carpet

题意：平面上有 $n$ 个矩形（通过左下角和右上角坐标描述），求有多少面积被至少 $n-1$ 个矩形覆盖。$T\le 5,n\le 3\times {10}^5,0\le val\le {10}^9$。