扩展欧几里得学习笔记

温馨提示：本文推式子比较多，建议跟着文章自己推一推。

扩展欧几里得是什么

扩展欧几里得（exgcd）是一个可以用来求 $ax+by=c$（$c\mathrm{\%}gcd(a,b)=0$，否则无解）的解的算法

求解 $ax+by=gcd(a,b)$

首先，如果 $b=0$ 的话，$gcd(a,b)=a$，则解为 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$

设此方程的解为 $\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0\end{array}$

那么我们需要做的就是将 $a{x}_0+b{y}_0=gcd(a,b)$ 转化为 $b=0$ 的格式，这就要用到辗转相除法了。

设另一个方程：$b{x}_1+(a\mathrm{\%}b)y_1=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$

令 $a_1=b,b_1=a\mathrm{\%}b$

则该方程转化为 $a_1{x}_1+b_1{y}_1=gcd(a_1,b_1)$

我们会发现它和原方程的格式是一样的，而且根据欧几里得原理，它可以一直递推到 $a_n{x}_n+b_n{y}_n=gcd(a_n,b_n)$ 使得 $b_n=0$，就可以求得解 $\{\begin{array}{l}{x}_n=1\\ y_n=0\end{array}$

那假设我们已经求得了该结果，那如何推导出 $x_0$ 和 $y_0$ 呢？

我们首先研究如何从 $x_1$ 和 $y_1$ 推导出一组合法的 $x_0$ 和 $y_0$，其他的就同理了

因为

$$\{\begin{array}{l}b{x}_1+(a\mathrm{\%}b)y_1=gcd(b,a\mathrm{\%}b)\\ a{x}_0+b{y}_0=gcd(a,b)\end{array}$$

且根据欧几里得定理，$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$

所以

$$a{x}_0+b{y}_0=b{x}_1+(a\mathrm{\%}b)y_1$$

且 $a\mathrm{\%}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$（模运算的意义）

所以

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}a{x}_0+b{y}_0& =b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y_1\\ & =b{x}_1+a{y}_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b{y}_1\\ & =b(x1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)+a{y}_1\\ & =a{y}_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{x}_0=y_1\\ y_0=x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\end{array}\end{array}$$

这样，我们就由 $x_1$ 和 $y_1$ 推导出了 $x_0$ 和 $y_0$，其他同理

于是乎：

struct node
{
	int x,y;
};
node exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		node tmp;
		tmp.x=1,tmp.y=0;
		return tmp;
	}
	node tmp=exgcd(b,a%b);//递归求出x_(k+1)和y_(k+1)
	node ans;
	ans.x=tmp.y,ans.y=(tmp.x)-a/b*(tmp.y);//推导出x_k和y_k
	return ans;
}

这样，我们就求出了 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组解

$ax+by=c$ 的一组解 $\{\begin{array}{l}x=x_{tmp}\\ y=y_{tmp}\end{array}$

我们已经求出了 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组解 $\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0\end{array}$

那么我们就可以知道 $ak{x}_0+bk{y}_0=kgcd(a,b)$

又因为要求 $c$ 是 $gcd(a,b)$ 的倍数（否则无解）

所以 $k=\frac{c}{gcd(a,b)}$

所以很简单：

$$\{\begin{array}{l}{x}_{tmp}=k{x}_0=\frac{c}{gcd(a,b)}{x}_0\\ y_{tmp}=k{y}_0=\frac{c}{gcd(a,b)}{y}_0\end{array}$$

3.$ax+by=c$ 的所有解 $\{\begin{array}{l}x=x_{ans}\\ y=y_{ans}\end{array}$

我们已经求出了 $ax+by=c$ 的一组解 $\{\begin{array}{l}x=x_{tmp}\\ y=y_{tmp}\end{array}$

即 $a{x}_{tmp}+b{y}_{tmp}=c$

将它加上再减去 $\frac{ab}{gcd(a,b)}$，得到

$$\begin{array}{c}a{x}_{tmp}+\frac{ab}{gcd(a,b)}+b{y}_{tmp}-\frac{ab}{gcd(a,b)}=c\\ a(x_{tmp}+\frac{b}{gcd(a,b)})+b(y_{tmp}-\frac{a}{gcd(a,b)})=c\end{array}$$

在 $x_{tmp}$ 上减，在 $y_{tmp}$ 上加也同理

所以 $\{\begin{array}{l}x=x_{tmp}\pm \frac{b}{gcd(a,b)}\\ y=y_{tmp}\mp \frac{a}{gcd(a,b)}\end{array}$ 也是一组解

这个变换进行多次，即可得到

$$\{\begin{array}{l}{x}_{ans}=x_{tmp}+t\times \frac{b}{gcd(a,b)}\\ y_{ans}=y_{tmp}-t\times \frac{a}{gcd(a,b)}\end{array}$$

$x$ 和 $y$ 各自的最小正整数解

以 $x$ 的最小正整数解为例：

求出任意一组解 $\{\begin{array}{l}x=x_{tmp}\\ y=y_{tmp}\end{array}$

因为将 $x_{tmp}$ 加或减 $\frac{b}{gcd(a,b)}$ 也成立，所以可设 $d=\frac{b}{gcd(a,b)}$（注意这里分子是 $b$ ）

$x_{min}=(x_{tmp}\mathrm{\%}d+d)\mathrm{\%}d$（因为 $x_{tmp}$ 有可能是负数）

同理对于 $y$，设 $d=\frac{a}{gcd(a,b)}$（注意这里分子是 $a$）

$y_{min}=(y_{tmp}\mathrm{\%}d+d)\mathrm{\%}d$

完结撒花

至此，你已经学完了扩展欧几里得的基础用法，如有不懂的地方，建议对照着文章自己推一推，悟一悟。

做个题练习一下吧：洛谷 P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)