勾股定理证明

在这个直角三角形中，我们设以 \(c\) 为底的大三角形面积为 \(S_c\)，以 \(a,b\) 为底的两个小三角形的面积分别为 \(S_a,S_b\)。

显然，\(S_c=\frac{ch}{2}=c^2\cdot\frac{h}{2c}\)。令 \(m=\frac{h}{2c}\)，则有 \(S_c=mc^2\)。

同理，\(S_a=a^2\cdot\frac{h_a}{2a}\)（其中 \(h_a\) 表示三角形 \(BPC\) 中以 \(a\) 为底的高）。显然该三角形与大三角形 \(ABC\) 相似，所以 \(\frac{ha}{h}=\frac{a}{c}\)，即 \(\frac{h_a}{2a}=\frac{h}{2c}=m\)，所以 \(S_a=ma^2\)。同理 \(S_b=mb^2\)。

又因为，\(S_c=S_a+S_b\)，所以 \(mc^2=ma^2+mb^2\)，即 \(c^2=a^2+b^2\)。