乘法逆元学习笔记

引入

有很多题的答案可能会很大，这时候通常会让我们输出模一个数的结果。当我们的计算中只用到了加法，可以边加边模；只用到了乘法，可以边乘边模。但如果有除法，就不能边除边模了。这时候就要用到乘法逆元：$a\times inv(b)\times inv(c)\mathrm{\%}mod=\frac{a}{b\times c}\mathrm{\%}mod$。

有了乘法逆元，在过程中想怎么模就怎么模，非常方便。

计算

我们都知道，当模数为质数时，可以用快速幂求 $a^{mod-2}$，否则可以用扩展欧几里得来求。

在组合数中，我们经常会用到阶乘逆元。当我们算出了 $1-n$ 的阶乘（$\mathrm{\%}mod$）后，就可以 $O(n)$算出每一个阶乘逆元：首先用上面两种方法之一算出 $inv(n!)$，我们知道 $inv(n!)=\frac{1}{n!}\mathrm{\%}mod$，那么 $inv((n-1)!)=\frac{1}{n!}\times n\mathrm{\%}mod=inv(n)\times n\mathrm{\%}mod$，以此类推即可倒推出每一个数的阶乘逆元。

将其扩展为一般形式，就能得到线性求任意 $n$ 个数的逆元：将这 $n$ 个数求出前缀积，记为 $s_1-s_n$，求出 $inv(s_n)$，则 $inv(s_{n-1})=inv(s_n)\times n$，以此类推，求出每一个 $inv(s_i)$，即可得出 $inv(a_i)=inv(s_i)\times s_{i-1}$。