乘法逆元学习笔记

引入

有很多题的答案可能会很大，这时候通常会让我们输出模一个数的结果。当我们的计算中只用到了加法，可以边加边模；只用到了乘法，可以边乘边模。但如果有除法，就不能边除边模了。这时候就要用到乘法逆元：\(a\times inv(b)\times inv(c)\%mod=\frac{a}{b\times c}\%mod\)。

有了乘法逆元，在过程中想怎么模就怎么模，非常方便。

计算

我们都知道，当模数为质数时，可以用快速幂求 \(a^{mod-2}\)，否则可以用扩展欧几里得来求。

在组合数中，我们经常会用到阶乘逆元。当我们算出了 \(1-n\) 的阶乘（\(\%mod\)）后，就可以 \(O(n)\)算出每一个阶乘逆元：首先用上面两种方法之一算出 \(inv(n!)\)，我们知道 \(inv(n!)=\frac{1}{n!}\%mod\)，那么 \(inv((n-1)!)=\frac{1}{n!}\times n\%mod=inv(n)\times n\%mod\)，以此类推即可倒推出每一个数的阶乘逆元。

将其扩展为一般形式，就能得到线性求任意 \(n\) 个数的逆元：将这 \(n\) 个数求出前缀积，记为 \(s_1-s_n\)，求出 \(inv(s_n)\)，则 \(inv(s_{n-1})=inv(s_n)\times n\)，以此类推，求出每一个 \(inv(s_i)\)，即可得出 \(inv(a_i)=inv(s_i)\times s_{i-1}\)。