2-17组合数学笔记

引入———十二重法

考虑对 $n$ 元集到 $m$ 元集的映射进行计数，根据一些不同的限制，引申出十二个基本的组合问题，被称为十二重法。

1. 单射/不受限/满射
2. $n$ 元集中的元素是可区分还是不可区分
3. $m$ 元集中的元素是可区分还是不可区分

一共 $3\times 2\times 2=12$ 种限制。每种限制下是一个不同的组合问题。

用自然语言描述的话，就相当于把 $n$ 个球扔到 $m$ 个箱子里。如果第 $i$ 个球扔到了第 $j$ 个箱子里，就称相当于一个集合的元素 $i$ 映射到第二个集合中的元素 $j$。

于是对于第一种限制，单射就对应了每个盒子最多一个球；满射就对应了每个箱子都必须有球；不受限就是任意扔球。

如果小球可区分，那么就相当于球表了 $1\sim n$ 号；如果不能区分，就相当于只有红球这样的。箱子同理。

对于“可区分”和“不可区分”的严格定义：定义映射和映射之间的等价关系，如果两种映射可以通过一种限制转换成另外一种映射，就划分等价类，看为同一种映射。

这十二种问题难易程度各有不同。如果球和箱子都有区分，是非常简单的组合问题；如果球没有区分了，就会有一定难度；箱子没有区分，难度就会更高；都没有区分，难度就非常恐怖了。

具体求解

$[m]$ 表示一个 $m$ 元集（即 $\{1,2,\cdots ,m\}$）。

首先有一个显然的原则，双射原则。

• 双射原则：两个集合形成双射，则两个集合大小相等。$S\leftrightarrow T\Rightarrow |S|=|T|$

$[m]\times [m]$ 表示笛卡尔积，例如 $\{1,2,3\}\times \{1,2,3\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),\cdots ,(3,2),(3,3)\}$。

由此，可以发现 $[m{]}^n$ 相当于所有值域在 $1\sim m$ 的 $n$ 元组集合。观察可知，$|[m{]}^n|=m^n$。这可以由集合上的乘法原则得出：

• 乘法原则：两个集合的笛卡尔积的大小，等于两个集合大小的乘积。$|S\times T|=|S|\times |T|$。

接下来，考虑最基础的没有限制的，可区分的映射计数。容易发现，$f:[n]\to [m]$ 可以等价于一个 $n$ 元组，值域在 $1\sim m$ 内，恰好对应了我们的 $|[m{]}^n|=m^n$。

于是，我们运用乘法原则完成了第一个问题的答案了。

接下来，我们加一些限制，考虑第二个问题：求 $n$ 元集到 $m$ 元集的单射个数。

容易发现，这可以转化成 $m$ 个元素的 $n$ 排列的个数，即 $A_m^n=m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1)=\frac{m!}{(m-n)!}$。

组合数本质上表示的是一个集合的子集。如果要表示一个集合的所有子集，一般用 $2^{[n]}$，表示所有“子集”的集合。这个集合的大小显然是 $2^n$，证明：

1. 组合证明。把自己表示成 $n$ 元组，每个元素为 $0/1$，表示有没有这个元素（即二进制表示集合）。于是，子集与 $0\sim 2^n-1$ 的二进制数形成了一一对应的双射。接下来，运用乘法原则即可得到 $n$ 元组的数量为 $2^n$。

2. 不组合的证明。把 $2^{[n]}$ 的大小记为 $f(n)$，我们会发现 $f(n)=2f(n-1)$，这用到我们的下一条原则———加法原则。

   • 加法原则：两个不相交的集合的并，大小等于两个集合大小之和。$S\cap T=\varnothing \Rightarrow |S\cup T|=|S|+|T|$。

   有了加法原则，我们可以将 $2^{[n]}$ 中的元素分为两类，一类是没有元素 $n$，则这一类与 $2^{[n-1]}$ 相等，所以大小为 $f(n-1)$；另一类有元素 $n$，则与 $2^{[n-1]}$ 可以形成一一对应（双射），所以大小也为 $f(n-1)$。显然这两类不相交，所以根据加法原则，$f(n)=2f(n-1)$。

到此为止，我们所有推论都可以通过三个原则推出来，除了一个例外：排列数 $m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1)$。排列数并不是笛卡尔积，因为前面选了哪些元素对后面产生了影响，并不是两个集合直接笛卡尔积并起来。这并不是乘法原则，而是“链式法则”。

总结三条原则：

• $S\leftrightarrow T\Rightarrow |S|=|T|$
• $|S\times T|=|S|\times |T|$
• $S\cap T=\varnothing \Rightarrow |S\cup T|=|S|+|T|$

二项式系数

二项式系数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 的扩展 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{[n]}{k})$ 表示 $n$ 元集合中的 $k$ 元子集组成的集合。即 $|(\genfrac{}{}{0ex}{}{[n]}{k})|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$。

当 $k=2$ 时，相当于一个完全图。当 $k$ 更高的时候，我们称之为 “$k$-完全超图”，其中每个“超边”不再连向两个点，而是连向 $k$ 个点。

总结

通过十二重法介绍的集合映射来理解组合，有助于我们将一些感性理解的组合问题形式化地描述出来并归类，且能根据三条原则严谨地解决。

以前接触到的加法原理和乘法原理与加法、乘法原则类似，但这里的原则通过对集合操作的描述，能够更加严谨地解决问题。这里主要讲的组合问题难度都不高，但这节课让我们看到了更深刻的理解。