随笔分类 - 学习笔记
摘要：同余 定义不多说了，$a\equiv b\pmod m$。 性质 若 $a\equiv b,c\equiv d$，则： $a+c\equiv b+d$ $a-c\equiv b-d$ $a\cdot c\equiv b\cdot d$ 常用的等价形式为，取模运算关于加法和乘法可以拆分运算。 线性同余
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摘要：从平均数说起 我们都知道 $n$ 个数的平均数表示为： $$\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots a_n}{n}$$ 这种最常见的平均数被称为“算术平均数”（Arithmetic Mean）。还有一种常用的平均数为“几何平均数”（Geometric Mean），计算公式如下： $$\sq
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摘要：温馨提示：本文推式子比较多，建议跟着文章自己推一推。 扩展欧几里得是什么 扩展欧几里得（exgcd）是一个可以用来求 $ax+by=c$（$c%\gcd(a,b)=0$，否则无解）的解的算法 求解 $ax+by=\gcd(a,b)$ 首先，如果 $b=0$ 的话，$\gcd(a,b)=a$，则解为
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摘要：图论 边的形式统一的完全图用虚点。 边权按端点信息生成的图求最小生成树，考虑 Boruvka 算法。 数学 异或比大小考虑 trie 树。 质因数分解朴素 $O(\sqrt{n})$；预处理 $\sqrt{n}$ 以内的质数（假设有 $cnt$ 个）后可以做到 $O(cnt)\approx\frac
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摘要：在这个直角三角形中，我们设以 $c$ 为底的大三角形面积为 $S_c$，以 $a,b$ 为底的两个小三角形的面积分别为 $S_a,S_b$。 显然，$S_c=\frac{ch}{2}=c^2\cdot\frac{h}{2c}$。令 $m=\frac{h}{2c}$，则有 $S_c=mc^2$。 同理
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摘要：规则简介 52 张牌（没有大小王），若干个人，进行许多轮游戏。每轮游戏过程如下： 初始有一个按钮（标记该轮的起点）位于某位置，顺时针方向两人依次叫“小盲”、“大盲”。首先由“小盲”和“大盲”依次下“盲注”（不可不下），这决定了这局游戏大致的格局大小。 由荷官发牌，每人两张，不公开。之后进行第一轮下注
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摘要：引入 有很多题的答案可能会很大，这时候通常会让我们输出模一个数的结果。当我们的计算中只用到了加法，可以边加边模；只用到了乘法，可以边乘边模。但如果有除法，就不能边除边模了。这时候就要用到乘法逆元：$a\times inv(b)\times inv(c)%mod=\frac{a}{b\times c}
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摘要：挖个巨坑，慢慢填。 从 Nim 游戏入手 问题：有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子有 $s_i$ 个，两个人轮流取石子，每人每次只能从一堆中取任意数量的石子，可以取完，不能不取。问先手必胜还是必败。 前置知识： 异或 $\oplus$：有两个数均为 $0$ 或 $1$，若它们相等则异或结果为 $
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摘要：01背包 由于01背包太过经典，所以一定要把每一个细节理解透彻！ 有 $n$ 个物品和一个容量为 $m$ 的背包，每个物品有体积 $w_i$ 和价值 $v_i$，求用这个背包所能装下的最大价值。 设 $f_{i,j}$ 表示只考虑前 $i$ 个物品，体积不超过 $j$ 的最大价值。如果我们算完了前
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摘要：引入———十二重法 考虑对 $n$ 元集到 $m$ 元集的映射进行计数，根据一些不同的限制，引申出十二个基本的组合问题，被称为十二重法。 单射/不受限/满射 $n$ 元集中的元素是可区分还是不可区分 $m$ 元集中的元素是可区分还是不可区分 一共 $3\times 2\times 2=12$ 种限制
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摘要：描述：对于任意正整数 $n$，在 $(n,2n]$ 间至少存在一个质数 $p$。 首先有一个引理： 对于任意 $x>1$，$\prod\limits_{p\le x}p\le 4^{x-1}$。 证明： 考虑数学归纳法，假设对于 $x\in{2,3,\cdots,n}$ 成立，证明其对于 $n+1$
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摘要：比赛传送门 A. Amusing Numbers 题意：定义 $n$ 以内 $k$ 的排名为，数字大小在 $1\sim n$ 的数字中，字典序小于等于 $k$ 的数字个数。给定 $k,m$，求最小的 $n$，使得 $n$ 以内 $k$ 的排名为 $m$。$m,k\le 10^9$。无解输出 $0$。
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摘要：众所周知，Tarjan 可以用来求有向图的强连通分量，我们就不扯那些 dfs 生成树，前向边、返祖边之类的东西，直接步入正题。 准备工作 Tarjan 算法本质上是一次 dfs 的过程，我们用 $dfn[u]$ 记录 $u$ 结点被 dfs 到的顺序，用 $low[u]$ 记录 $u$ 能到达的所有
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摘要：前言 前排提示：由于作者水平很菜，所以本篇文章不会讲最优性证明、复杂度证明。如有需要请自行搜索 前排提示2；本文巨无敌长，阅读并完全理解可能需要 $1\sim 2$ 小时。但对于 SAM 这种恐怖算法来说，$2$ 小时其实并不多（毕竟我当初断断续续学了两天才理解）。 前排提示3：可能有点啰嗦，但在能
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