八皇后问题的两种解法

八皇后问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

八皇后问题往往还需要使用递归。

Lz查找到几种不同的解决方案，现列出其中两种并做了必要注释，仅供参考。

第一种：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 8

int column[N+1]; // 同栏是否有queen，1表示有
int rup[2*N+1]; // 右上至左下是否有queen，1表示有
int lup[2*N+1]; // 左上至右下是否有queen，1表示有
int queen[N+1] = {0};    
int num; //不同解的编号

void showAnswer() {
    int x, y;
    printf("\n解答 %d\n", ++num);
   
    for(y = 1; y <= N; y++) 
    {
        for(x = 1; x <= N; x++) 
        {
            if(queen[y] == x)   //queen[y]表示第y行第x个位置有queen
            {
                printf(" Q");
            }
            else 
            {
                printf(" *");
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

void backTrack(int i)   //递归求解
{
    int j;

    if(i > N)
    {
        showAnswer();   //每求出一个解便输出一个
    }
    else 
    {
        for(j = 1; j <= N; j++)
        {
            if(column[j] == 1 && rup[i+j] == 1 && lup[i-j+N] == 1)   //如果符合条件
            {
                queen[i] = j;// 设定[i,j]为占用,第i行第j列为queen

                column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 0;    
                //第i行第j列为queen，所以把第j列设为0；rup[i+j]为0表示经过[i,j]从右上到左下的斜线设为0；lup表示经过[i,j]左上到右下的斜线设为0
               
                backTrack(i+1);  // 到下一行
                column[j] = rup[i+j] = lup[i-j+N] = 1;  //递归操作用到栈，这句会被压倒栈里，最后执行这句，将之前设置成0的位置再设置为1
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    int i;
    num = 0;

    for(i = 1; i <= N; i++)
        column[i] = 1;

    for(i = 1; i <= 2*N; i++)   //rup和lup下标从 0 到 2*N
        rup[i] = lup[i] = 1;

    backTrack(1);

    return 0;
}

 

第二种：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define QUEENS 8

int iCount = 0;        //记录解的序号
int Site[QUEENS];   //queen在各行上的位置
void Queen(int n);  //递归求解
void Output();        //输出一个解
int IsValid(int n); //判断第n个queen放上去之后是否有冲突

void main() 
{ 
    Queen(0);  //从第0行开始递归试探   
}

void Queen(int n) 
{    
    int i;    
    if(n == QUEENS)  //参数n从0开始，等于8时便试出了一个解，将它输出并回溯 
    {      
        Output();       
        return;    
    }   
    
    for(i = 1 ; i <= QUEENS ; i++)  //n还没到8，在第n行的各个行上依次试探   
    {      
        Site[n] = i;     //在该行的第i行上放置皇后      
        
        if(IsValid(n))   //如果放置没有冲突，就开始下一行的试探     
            Queen(n + 1);  
          }
}

int IsValid(int n)    //判断函数
{   
    int i;   
    for(i = 0 ; i < n ; i++)  //将第n个queen的位置依次于前面n－1个queen的位置比较  
    {       
        if(Site[i] == Site[n])  //判断两个queen是否在同一列  
            return 0;         
        
        if(abs(Site[i] - Site[n]) == (n - i))  //判断两个queen是否在对角线上
            return 0;   
    }   
    return 1; //没有冲突则返回1
}

void Output()
{    
    int i;   
    printf("No.%-5d" , ++iCount);    //输出序号，控制格式
                
    for(i = 0 ; i < QUEENS ; i++)    //依次输出各个行上的queen的位置，即所在的列数      
    printf("%d " , Site[i]);   
                
    printf("\n");
}