矩阵论 - 8 - 求解Ax=b：可解性和解的结构

求解Ax=b：可解性和解的结构

可解的条件 Solvability conditions on b

Q：给定 \( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \)，求\(Ax=b\)的解？

方程 \(Ax=b\) 可以表示为：\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\2 & 4 & 6 & 8\\3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\ \end{bmatrix}\)

写出其增广矩阵（augmented matrix）\(\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]\)：

\[\left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元} \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array} \right] \]

显然，有解的必要条件为\(b_3-b_2-b_1=0\)。

Q：\(b\) 满足什么条件才能让方程 \(Ax=b\) 有解（solvability condition on b）？

当且仅当 \(b\) 属于 \(A\) 的列空间时。

本讲推导出矩阵 \(A\) 的行向量若经过线性组合成为了零向量，则对应的 \(b\) 经同样的线性组合后也要等于 \(0\)。

这两点是等价的。

求解Ax=b

通解 Complete solution

为求得 \(Ax=b\) 的所有解，我们首先检验方程是否可解，然后找到一个特解。将特解和矩阵零空间的向量相加即为方程的通解。

In order to find all solutions to \(Ax=b\) we first check that the equation is solvable, then find a particular solution. We get the complete solution of the equation by adding the particular solution to all the vectors in the nullspace.

特解 A particular solution

求 \(Ax=b\) 特解的方法是将自由变量均赋值为0，求解其主变量。

对于上文的例子，令 \(x_2=x_4=0\)，有 \( \Big\lbrace \begin{eqnarray*} x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \\ & & 2x_3 & = & 3 \\ \end{eqnarray*} \)，解得 \(\Big\lbrace\begin{eqnarray*}x_1 & = & -2 \\x_3 & = & \frac{3}{2} \\\end{eqnarray*}\)，代入 \(Ax=b\) ，可以求得特解\( x_p= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \)。

主元列和自由列的一个重要区别就是，自由列可以表示为其左侧所有主元列的线性组合，而主元列则不可以。

\[\begin{bmatrix} \underline{*} & * & * & *\\ 0 & 0 & \underline{*} & *\\ 0 & 0 & 0 & \underline{*}\\ \end{bmatrix}\]

对于 \(Ax=b\) 的求解转变为 \(Ux=c\)，其中 \(c\) 是向量经过与 \(Ax\)相同的行操作得到的向量。（使用增广矩阵）

将 \(x\) 中的自由变量赋值为0就可以去掉自由列的列向量的干扰，从而求得方程的特解 \(x_p\)。

如果消元得到的行阶梯矩阵 \(U\) 最后i行为0，就要求的 \(c\) 最后i个分量为0，这时主元列才可以通过线性组合得到 \(c\)，否则无解。

与零空间进行线性组合 Combined with nullspace

令\(Ax=b\)成立的所有解：

\[\begin{cases} Ax_p & = & b \\ Ax_n & = & 0 \\ \end{cases} \quad \underrightarrow{两式相加} \quad A(x_p+x_n)=b\]

即 \(x_{complete}=x_p+x_n\)， \(x_p\) 为矩阵 \(A\) 的特解，\(x_n\) 为矩阵零空间的一般向量。

即 \(Ax=b\)的解集为其特解+零空间。

对于上文的例子，根据 \(Ax=0\) 求得 \(A\) 的零空间（前篇文章已求得）为\(c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}\)

所以可以求得上文例子的通解 \(x_{complete}=x_p+x_n=\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}\)，式中 \(c_1\) 和 \(c_2\) 为任意实数。

矩阵的零空间\(N(A)\)是\(\mathbb{R}^4\)空间中的二维子空间，方程 \(Ax=b\) 的解构成了穿过 \(x_p\) 点并和矩阵零空间平行的“平面“。但该”平面“并不是空间 \(\mathbb{R}^4\) 的子空间。

秩 Rank

矩阵的秩等于矩阵的主元数。如果mxn矩阵的秩为r，则必有r<=m且r<=n。

讨论满秩（full rank）的情形：

• 列满秩：r=n。每列都有主元，\(x\) 的每一个分量都是主变量，没有自由变量。零空间\(N(A)\)之内只有零向量。方程 \(Ax=b\) 无解或者有唯一解 \(x_p\)。example:\( A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \)

• 行满秩：r=m。每行都有主元，无论 \(b\) 取何值，方程 \(Ax=b\) 都有解。主变量r个，自由变量n-r个。example:\( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \)

• 行列满秩情况：r=m=n，矩阵可逆，零空间只有零向量，无论 \(b\) 取何值，方程 \(Ax=b\) 都有唯一解。example:\( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \)，则\(A\)最终可以化简为\(R=I\)。

总结：秩决定了方程组解的数量。

mxn给出了矩阵的尺寸，但是秩r给出的是矩阵的实际“大小”。

\[\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array} \]

总结

求解 \(Ax=b\) 的步骤：

1. 变化为行阶梯形矩阵 \(U\)
2. 看是否可解
3. 求特解：将自由变量均赋值为0，求解其主变量。
4. 求零解：求 \(Ax=0\)的解
5. 特解和零解的线性组合即是 \(Ax=b\) 的通解

reference

[1] textbook

[2] mit18.06学习笔记-0

[3] mit18.06学习笔记-1