矩阵论 - 4 - LU分解

LU分解

乘积的逆

乘积\(AB\)的逆为\(B^{-1}A^{-1}\)

\((AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1}=I\)

乘积的转置

乘积\(AB\)的转置为\(B^TA^T\)。对于任何可逆的矩阵，有\(A^T\)的逆为\((A^{-1})^T\)，即$(A^T) =(A^{-1})T $。（逆和转置的运算可以交换顺序）

\[\begin{aligned}(A \cdot A^{-1})^{T} & = I^{T}\\(A^{-1})^{T} \cdot A^{T} & = I\\\textrm{则} A^{T} \textrm{的逆矩阵为} & (A^{-1})^{T}\end{aligned} \]

LU分解

LU分解：将矩阵\(A\)分解成2个矩阵（\(L\) 和 \(U\)）的乘积。

where ‘LU’ stands for ‘lower upper’

\(L\) - 下三角阵，\(U\) - 上三角阵（下三角阵下三角不全为0，上三角反之）。

经过一系列初等变换， \(A\) → \(E_{21}A\) → \(E_{31}E_{21}A\) → ··· → \(U\)，在2D下就是下面的样子：

\(\begin{aligned}E_{21}A = U \\\ \begin{bmatrix}1&0\\-4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\8&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}\end{aligned}\)

将上面式子化为\(A=LU\)形式：

\(\begin{aligned}E_{21}A = U \\ E_{21}^{-1}E_{21}A = E_{21}^{-1} U\\A=E_{21}^{-1}U \end{aligned}\)

即：

\(\begin{aligned}A = LU \\\ \begin{bmatrix}2&1\\8&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}\end{aligned}\)

计算代价

1. 将\(a_{11}\)作为主元，需要的运算量约为\(n^2\)。

\[x\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{bmatrix}\underrightarrow{消元}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\0 & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{bmatrix} \]

2. 以此类推，接下来每一步计算量约为\((n-1)^2、(n-2)^2、\cdots、2^2、1^2\)。

3. 将 \(A\) 变换为 \(LU\) 的总运算量应为\(O(n^2+(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2)\)，即\(O(\frac{n^3}{3})\)。

行交换-置换矩阵

置换矩阵(Permutation Matrix)，\(n\)阶方阵的置换矩阵有\(\binom{n}{1}=n!\)个，3阶方阵的置换矩阵有6个：

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

为了交换两行，我们在左边乘以一个置换矩阵。

例如右乘 $$P_{12} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{bmatrix}$$以交换3 × 3矩阵的第一和第二行。

有一个比较重要的性质是：任何置换矩阵的逆等于它的转置，即\(P^{-1} = P^T\)。

reference

[1] textbook

[2] mit18.06学习笔记