牛客多校 A 题题解

合集 - 算法(15)

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牛客多校 8 - A

Haitang and Game

Given a set $S$, dXqwq and Haitang take turns performing the following operations, with dXqwq going first:

• Find a pair $(x,y)$ such that $x,y\in S$ and $gcd(x,y)\notin S$.

• Insert $gcd(x,y)$ into $S$.

The player who cannot make a move loses the game. You need to output the winner when both players play optimally.

Each test contains multiple test cases. The first line contains an integer $T$ ($1\le T\le 20$) — the number of test cases. The description of the test cases follows.

The first line of each test case contains a single integer $n$ ($1\le n\le {10}^5$) — the size of set $S$.

The second line contains $n$ integers $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ ($1\le a_1<a_2<\cdots <a_n\le {10}^5$) — the elements of set $S$.

解题思路:

考场上这题没优化好导致 $95.46$ 的样例通过,而最后 $4.54$ 的样例被卡了,我真的服了

• 简单分析之后可以发现,无论两边最后怎么选,最后的形成的数列的个数是固定的,如果最后形成的数列的个数比原本的数列的个数增加奇数个,那么 $dXqwq$ 胜利, 否则 $Haitang$ 胜利.
• 而要怎么找出所有的可能插入的 $gcd$ 呢? 首先,观察到数据范围在 $1\le a\le {10}^5$ 的范围,我们可以开一个 $bool$类型的哈希表来记录在初始的集合中出现过的元素,然后我们枚举可能还可以在插入的数据 $i$ ($1\le i\le 5\times {10}^4$ ) ,在枚举过程中,如果已经在集合中就直接跳过,如果不在集合中,就需要开始判断,判断的过程中,遍历 在 $1\le x\le 1\times {10}^5$ 中 $i$ 的倍数,这里注意,我考场上把每两个 $i$ 的倍数都进行了 $gcd$运算, 这样直接导致我考场上这一题 $TLE$ 了几十发...... 实际上,只需要把所有的 $i$ 的倍数的数一起求最大公因数,如果最大公倍数为 $i$ 那么说明 $i$ 最后需要被插入到集合 $S$ 中.这里开始证明: 如果存在 $k_1\cdot i$ 与 $k_2\cdot i$ 的最大公因数为 $i$ ,就可以得出 $gcd(k_1,k_2)=1$ , $k_1$ 和 $k_2$ 互质,$gcd(k_1,k_2,......k_{n-1},k_n)=1$ ，那么 . 下证必要性, 若存在 $gcd(k_1\cdot i,k_2\cdot i,......k_{n-1}\cdot i,k_n\cdot i)=i$ ,即 $gcd(k_1,k_2,......k_{n-1},k_n)=1$ ，我们如何证明存在 $gcd(k_i,k_j)=1$ 呢？ 该出采用反证法，如果 任意 $k_i$ 与 $k_j$ 都两两不互质,则 存在 公因数 $t$ ($t\ne 1$)可以被提出来最后必然存在 $gcd(k_1,k_2,k_3,......k_{n-1},k_n)\ne 1$ ，与结论相悖 ，故可以得出， 若所有的$i$ 的倍数的元素的公因数是 $i$ ,那么必然存在最少一对 $i$ 的倍数的元素的公因数是 $i$ ,若在 $i$ 的倍数的元素中存在两个数的公因数是 $i$ ,那么必然存在所有的 $i$的倍数的元素的公因数 $\le i$ ,也就是为 $i$ ,所以综上只需要求一下所有的 $i$ 的倍数的元素的最大公因数并判断是否为 $i$ 即可得出是否存在两个元素的$gcd(a_i,a_j)$是否为 $i$.
• 总结： 对基本的数论知识不熟。

AC code：

#include <bits/stdc++.h>
#define print(x)    cout<<#x<<'='<<x<<'\n'
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9;
int a[maxn];
int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c))
    {
        if (c == '-')
            f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (isdigit(c))
    {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
int n;
int gcd(int x, int y)
{
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}
int ct=0;
void solve()
{
    auto Y = [&]()
    {
        cout << "dXqwq" << "\n";
    };
    auto N = [&]()
    {
        cout << "Haitang" << '\n';
    };
    cin >> n;
    vector<bool> mm(1e5 + 9, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        mm[a[i]] = 1;
    }
    int count = 0;
    for (int _ = 50000; _ >= 1; _--)
    {
        // print(_);   
        if (!mm[_])
        {
            int t=0;
            for (int i = 2*_; i <= 100000; i+=_)
            {
                if (mm[i])
                {   
                    t=__gcd(t,i);
                }
            }
            if(t==_)
            {
                mm[_]=1;
                count++;
            }
        }
    }
    if(count&1)
    {
        Y();
    }
    else N();
    // print(++ct);
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cin.tie(0),cout.tie(0);
//     freopen("1data.in","r",stdin);
    int t;
//     int st = clock();
    cin >> t;
    while (t--)
        solve();
//     int ed = clock();
//     cerr << ed - st;
    return 0;
}