TopCoder SRM 660 Div2 Problem 1000 Powerit （积性函数）

 

令$f(x) = x^{2^{k}-1}$，我们可以在$O(k)$的时间内求出$f(x)$。

如果对$1$到$n$都跑一遍这个求解过程，时间复杂度$O(kn)$，在规定时间内无法通过。

所以需要优化。

显然这是一个积性函数，那么实际上只要对$10^{6}$以内的质数跑$O(k)$的求解过程。

而$10^{6}$以内的质数不到$8*10^{4}$个，优化之后可以通过。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i, a, b)	for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b)	for (int i(a); i >= (b); --i)
#define MP		make_pair
#define fi		first
#define se		second

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int f[N];
int c[N];
int ans;

int Pow(int i, int k, int m){
	int p = i, q = p;
	rep(j, 1, k - 1){
		q = 1ll * q * q % m;
		p = 1ll * p * q % m;
	}

	return p;
}

int cal(int x, int k, int m){
	if (~f[x]) return f[x];
	else return f[x] = Pow(x, k, m);
}

class Powerit {
	public:
		int calc(int n, int k, int m){
			memset(f, -1, sizeof f);
			ans = 0;
			rep(i, 1, 1e6){
				for (int j = i + i; j <= 1e6; j += i) c[j] = i;
			}

			ans = cal(1, k, m);
			rep(i, 2, n){
				int x = c[i], y = i / c[i];
				if (x == 1){
					ans = ans + (f[i] = cal(i, k, m));
					ans %= m;
					continue;
				}

				f[i] = 1ll * cal(x, k, m) * cal(y, k, m) % m;
				ans = ans + f[i];
				ans %= m;
			}

			return ans;
				
		}
};