洛谷P4902乘积
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题意简述
求\(\prod_{i=A}^B\prod_{j=1}^i \lgroup \frac{i}{j} \rgroup ^{\lfloor \frac{i}{j} \rfloor}\)
sol
我的做法是观察法，首先我们把\(i\)和\(j^{-1}\)分开做，可以看到
\(i\)的是这样的。表格内是每个\(i\)和\(j\)的对应\(i\)的贡献
| \(1^1\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| \(2^2\) | \(2^1\) | ||||
| \(3^3\) | \(3^1\) | \(3^1\) | |||
| \(4^4\) | \(4^2\) | \(4^1\) | \(4^1\) | ||
| \(5^5\) | \(5^2\) | \(5^1\) | \(5^1\) | \(5^1\) | |
| \(6^6\) | \(6^3\) | \(6^2\) | \(6^1\) | \(6^1\) | \(6^1\) |
可以发现第\(i\)行我们只要快速求出指数就可以快速幂了。然后会发现一个神奇的性质，第\(i\)列每过\(i\)就会让指数加\(1\)。这样的话我们给\(i,2i,3i,4i,5i...\)加1，然后前缀和就行了。
要不还是再说清楚点吧。下面这个表是要加的指数。
| 1 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | ||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
然后对每列做一遍前缀和。
| 1 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | ||||||
| 3 | 1 | 1 | |||||
| 4 | 2 | 1 | 1 | ||||
| 5 | 2 | 1 | 1 | 1 | |||
| 6 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | ||
| 7 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 8 | 4 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
然后就变回去了，这也许是差分的思想？？？具体实现不需要对每列开数组，丢到一起就OK了。
下面的1,2,3,4,5,6均指 他们的逆元
| \(1^1\) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| \(1^2\) | \(2^1\) | ||||
| \(1^3\) | \(2^1\) | \(3^1\) | |||
| \(1^4\) | \(2^2\) | \(3^1\) | \(4^1\) | ||
| \(1^5\) | \(2^2\) | \(3^1\) | \(4^1\) | \(5^1\) | |
| \(1^6\) | \(2^3\) | \(3^2\) | \(4^1\) | \(5^1\) | \(6^1\) |
这是\(j^{-1}\)的贡献。
然后和上面一样搞，但我们直接把这个数乘上去而不是加指数。
相信泥萌都懂了。那么我就贴个代码。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
inline int in()
{
int k=0;char ch=gt;
while(ch<'-')ch=gt;
while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
return k;
}
const int YL=19260817,N=2e6+5,M=1e6;
inline int ksm(int a,int k){int r=1;while(k){if(k&1)r=1ll*r*a%YL;a=1ll*a*a%YL,k>>=1;}return r;}
inline int MO(const int &a){return a>=YL?a-YL:a;}
int sum[N],sum_i[N],inv[N];
int main()
{
sum_i[0]=1;
for(int i=1;i<=M;++i)inv[i]=ksm(i,YL-2);
for(int i=1;i<=M;++i)
for(int j=i;j<=M;j+=i)++sum[j];
for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%(YL-1);
for(int i=1;i<=M;++i)sum_i[i]=1ll*ksm(i,sum[i])*sum_i[i-1]%YL;
for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=1;
for(int i=1;i<=M;++i)
for(int j=i;j<=M;j+=i)sum[j]=1ll*sum[j]*inv[i]%YL;
for(int i=2;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum[i-1]%YL;
for(int i=2;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum[i-1]%YL;
for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum_i[i]%YL;
sum[0]=1;
int t=in();
while(t--)
{
int a=in(),b=in();
printf("%lld\n",1ll*sum[b]*ksm(sum[a-1],YL-2)%YL);
}
return 0;
}
