$Min\_25$筛学习笔记

$Min\_25$筛学习笔记

这种神仙东西不写点东西一下就忘了QAQ

资料和代码出处
资料2
资料3
打死我也不承认参考了yyb的

$Min\_25$筛可以干嘛？下文中未特殊说明$P$均指质数集合,$p_i$或$p$指某个具体质数。

求一类积性函数$f(x)$的前缀和，需要满足$f(p)$可以写成多项式的形式，或者操作一下可以写成多项式（如例题），且$f(p^k)$能快速求出。

讲真学这个东西比我什么都不会的时候学$FFT$都累。

Round 1

先求质数的贡献。我们要求

$$\sum_{i=1}^x[i是质数]f(i)$$。 我们可以设 $$g(n,j)=\sum_{i=1}^{n}[i \in P \ or\ \min(p)>P_j]f(i)$$

注意到当$p_j^2>x$时，$g(n,j)=g(n,j-1)$因为没有新的贡献了，所以我们只要筛到$\sqrt n$的质数就可以了，这也是降低复杂度的关键。

我们还注意到$g(n,|P|)=\sum_{i=1}^x[i是质数]f(i)$，$|P|$是$\sqrt n$内的质数集合大小。

关于$g(n,j)$的转移，我们有：

$$g(n,j)=g(n,j-1)-f(P_j)[g(\frac{n}{P_j},j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)],P_j^2\le n$$

意思大概就是减掉所有最小质因子为$p_j$的贡献，但由于$g(\frac n{p_j},j-1)$里包含了质数，而$<p_j$的质数是不能算的，所以要减掉。

由于我们只需要$g(n,|P|)$，所以下面的代码是一维的，用递推实现。注意到过程中我们只需要$g(\lfloor\frac ni\rfloor,|P|)$，所以最多只有$2\sqrt n$种取值

至于实现，由于我参考了$gsy$的实现，痛不欲生，于是决定把他的代码蒯走。这份代码是筛$f(p)=1$的。

//这两个鬼id就是你在杜教筛中碰到的卡常卡空间技巧，这份代码你理解了这个就能看懂
//至于YL，是机房众人mo的巨佬，所以是模数
//Sq是根号n
for (int i=1,j;i<=n;i=j+1)
{
    j=n/(n/i);w[++m]=n/i;g[m]=(w[m]-1)%YL;//除法分块，根号n求出所有有用的值
    if(w[m]<=sq)id1[w[m]]=m;else id2[n/w[m]]=m;
}
for (int j=1;j<=tot;++j)
    for (int i=1;i<=m&&pri[j]*pri[j]<=w[i];++i)//i再往上就是所有的质数，会被后面抵消
    {
        int k=(w[i]/pri[j]<=sq)?id1[w[i]/pri[j]]:id2[n/(w[i]/pri[j])];
        g[i]=(g[i]-g[k]+(j-1))%YL;g[i]=(g[i]+YL)%YL;
    }

Round 2

然而敌人并没有这么容易就被打倒，我们还有合数没算呢。那么我们鼓捣一个$S(n,i)$出来

$$S(n,j)=\sum_{i=1}^n[\min(p)\ge P_j]f(i)$$

注意$S(n,1)$没算到$f(1)$。答案就是$S(n,1)+f(1)$。

递推式来了

$$S(n,j)=(质数的贡献)+(合数的贡献)$$

有没有感觉被骗了$QwQ$，我们继续

$$(质数的贡献)=g(n,|P|)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)$$

$$(合数的贡献)=\sum_{k=j}^{P_k^2\le n}\sum_{e=1}^{P_k^{e+1}\le n}S(\frac{n}{P_k^e},k+1)\times f(P_k^e)+f(P_k^{e+1})$$

经过$YL$的指点，我可以口胡一下了，每个合数要在最小质因子处被筛到。当$\frac n{p_k^e}<p_{k+1}$时，肯定是$0$就没必要继续了。

举个栗子，形如$t*p_k^3$（其中$t$的最小质因子大于$p_k$）的数会被$S(\frac n{p_k^3},4)$包含。

由于$S$这个函数在任何时候都不包含$f(1)$所以我们要手动加上$f(p_k^2),f(p_k^3),...,f(p_k^{e+1})$其中$p_k^{e+2}>n$。什么，你问我$f(p_k)$去哪了，这不是个质数么。

完结撒花

放上LOJ6053简单的函数作为例题，这里面的$p$^$c$对于质数来说除了$2$以外都是$p-1$，像个多项式。

代码中$g(x,|P|)=\sum_{i=1}^x[i是质数]i$，$h(x,|P|)=\sum_{i=1}^x[i是质数]1$

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
inline ll in()
{
	ll k=0;char ch=gt;
	while(ch<'-')ch=gt;
	while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
	return k;
}
const int N=1e6+5,YL=1e9+7,mod=YL;
inline int MO(const int &x){return x>=YL?x-YL:x;}
ll n,w[N];
int np[N],pr[N],tot,h[N],g[N],sp[N],id1[N],id2[N],m,sq;
void seive(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!np[i])pr[++tot]=i,sp[tot]=MO(sp[tot-1]+i);
		for(int j=1;i*pr[j]<=n;++j)
		{np[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0)break;}
	}
}

int S(ll x,int y)
{
	if(x<=1||pr[y]>x)return 0;
	int k=(x<=sq?id1[x]:id2[n/x]);
	int res=MO(((ll)g[k]-h[k]-sp[y-1]+y-1)%YL+YL);
	if(y==1)res+=2;
	for(int i=y;i<=tot&&1ll*pr[i]*pr[i]<=x;++i)
	{
		ll p1=pr[i],p2=p1*pr[i];
		for(int e=1;p2<=x;++e,p1=p2,p2*=pr[i])
			res=MO(res+(1ll*S(x/p1,i+1)*(pr[i]^e)+(pr[i]^e+1))%YL);
	}
	return res;
}

int main()
{
	n=in();sq=sqrt(n);seive(sq);ll t;
	for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i),w[++m]=n/i;
		if(w[m]<=sq)id1[w[m]]=m;else id2[n/w[m]]=m;
		h[m]=(w[m]-1)%YL;g[m]=((w[m]+2)%YL)*((w[m]-1)%YL)%YL;
		if(g[m]&1)g[m]+=YL;g[m]>>=1;
	}
	
	for(int j=1;j<=tot;++j)
		for(int i=1;i<=m&&1ll*pr[j]*pr[j]<=w[i];++i)
		{
			t=w[i]/pr[j];int k=(t<=sq?id1[t]:id2[n/t]);
			h[i]=MO((h[i]-h[k]+j-1)%YL+YL);
			g[i]=MO(MO(g[i]-1ll*pr[j]*(g[k]-sp[j-1])%YL)+YL);
		}
	printf("%d\n",S(n,1)+1);
	return 0;
}

一些也许是高阶的应用？

筛与最小质因子有关的东西，用第一步筛，筛的时候顺便处理一下。

筛最大次大质因子有关，考虑后面的筛，其中在乱搞一下就行了。

主要要深刻的理解min_25筛的过程，本质上是容斥？（我口胡的

多做题就明白了。

我偷偷的把YCB的题单蒯过来。

泥萌看着办吧。