CF1628D2 Game on Sum

题目链接（Easy）

题目链接（Hard）

Part1

神奇的博弈类型 $Dp$ 。

我们发现与当前状态有关的量，有且只有 现在是第几轮，还有 Bob 用了几次加的操作 ,这都会影响之后的决策，而和之前的决策无关，换句话说，当前决策有后效性，没有前效性。那我们考虑倒着 $Dp$.

Part2

设 $f_{i,j}$ 表示还有 $i$ 轮，且 $Bob$ 还要用 $j$ 次加操作，考虑当前选择加操作还是减操作， 如果是加操作，有 $f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+x$, 如果是减操作，有 $f_{i,j}=f_{i-1,j}-x$, 对于 $Bob$ 而言，两者取 $min$ ,而 $Alice$ 为了使结果最大，她会改变 $x$ ，让 $f_{i-1,j-1}+x=f_{i-1,j}-x$，解得 $x=\frac{f_{i-1,j}-f_{i-1,j-1}}{2}$ ,那么有转移：

$$f_{i,j}=\frac{f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}}{2}$$

初始状态 $f_{0,0}=0$, $f_{i,i}=i\ast k$

直接暴力转移，复杂度 $O(nm)$ ,可以通过 $Easy$.

Part3

考虑优化，发现对答案相当于每个 $f_{i,i}$ 的累加，考虑计数。

想象一个平面直角坐标系的第一象限，$f_{i,i}$ 会对他的右边和右上方产生贡献，那么每个 $f_{i,i}$ 对答案产生的贡献相当于从 $(i+1,i)$ ，每次走右边或者右上，走到 $(n,m)$ 的方案数，不是 $(i,i)$ 的原因是 $f_{i,i}$ 不可以对 $f_{i+1,i+1}$ 产生贡献，相当于第一步只能走右边，而不能走右上。

每次走必定向右走一格，所以一共可以走 $(n-(i+1))$ 步，其中任意选 $(m-i)$ 步改为 右上，所以方案数为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i-1}{m-i})}$，再除以 $2^{n-i}$ 。

答案即为：

$$k\sum _{i=1}^m\frac{i·{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i-1}{m-i})}}{2^{n-i}}$$

复杂度 $O(m)$。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define int long long

const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;

using namespace std;

inline int read() {
    int f=1, x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch>'9' || ch<'0') {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9') {
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return f*x;
}

inline void write(int x) {
    cout<<x; putchar('\n');
}

int T, n, m, k;
int fac[N], inv[N], invj[N], power[N];

void prework() {
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=invj[0]=invj[1]=1;
    for(int i=2;i<=N-5;i++) {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        invj[i]=invj[i-1]*inv[i]%mod;
    }
    power[0]=1;
    for(int i=1;i<=N-5;i++) power[i]=power[i-1]*inv[2]%mod;
}

inline int C(int n,int m) {
    if(m>n) return 0;
    return fac[n]*invj[m]%mod*invj[n-m]%mod;
}

signed main() {

    prework();

    T=read();
    while(T--) {
        n=read(), m=read() ,k=read();

        if(n==m) {
            write(m*k%mod);
            continue;
        }

        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++) {
            int sum=i*C(n-i-1,m-i)%mod*power[n-i]%mod;
            ans=(ans+sum)%mod;
        }
        write(ans*k%mod);

    }

    return 0;
}