算法导论 作业笔记

9/27 第三次作业

22.4-2

要求在一个有向无环图中，给定两点，求出这两点之间有多少条路径

伪代码：

list = topological_sort(G); 
create count[*] = 0;
count[s]=1
for each v in list
    if(v!=t)
        for each w in adj[v]
            count[w] = count[w] + count[v];
    else break;
return count[t];

复杂度：
O(V+E)

22.4-4

先说结论： 对于有环图，top排序不一定可以生成坏边最小的序列

证明：

1. 假设G至少需要去掉k条边才能变成无环图，则任意序列P的坏边数目bad[P] >= k；

   证明： 如果存在P使得bad[P] < k, 则只要去掉P中的坏边则剩下的必然为无环图，这个和假设矛盾

   推论：存在序列P使得bad[P]=k，去掉k条边，然后top排序即可

2. 对有环图进行拓扑排序得到的序列P， bad[P]和反向边数目相等

   　 证明：有反向边定义可证

3. 需要证明反向边数和k的关系，通过反例可证明反向边树可能大于k

   DFS之后的树为A–>B->C, 然后存在C->B, C->A两条反向边，但是实际上只要去掉B->C一条边就可以变成无环图

ps：其实直接通过反例证伪即可，上面的主要是记录我思考的过程

22.4-5

思考：
初始时，所有入度为0的顶点入队列
while队列不为空，作以下处理：
取队列头结点，并出队列
处理以头结点为起点的所有的边，将边的终点的入度-1
若入度减为0，则入队列
若G中包含回路：找不到入度为0的点，且G中仍然还有节点没有删除（剩下的就是G的回路）