程序设计实习 note

对于矩阵 $A,B,C$ 判断是否有 $AB=C$ ：随机一个行向量 $x$ 然后看 $xAB$ 是否 等于 $xC$ 。正确率约为 $1$ 。

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通过少量查询得到近似的中位数：如果要求排名误差在 $2an$ 以内，只需要 $O(\frac{1}{a^2})$ 次查询就可以做到很高的概率。

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1-median:

给定 k 维空间的若干点 $A_1,A_2,\dots,A_n$ ，要求预处理之后高效进行查询：查询每次给定 $B$ ，求 $\sum dis(B,A_i)$ 。可以求近似解。

如果存在一个点 $P$ 和一个常数 $c$ 满足 $\forall i,dis(A_i,P)\in [c,2c]$ ，那考虑以下算法：

直接在 $n$ 个点里随 $m$ 个取出来记为 $C_1,C_2,\dots,C_m$，估计答案为 $\frac{n}{m}\sum dis(B,C_i)$ 即可。道理在哪儿呢，考虑令 $X_i=dis(A_i,B)$ ，根据三角形不等式有 $X$ 极差 $\le 4c$ 。

Hoeffding inequality：

设独立随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_m\in [s,t]$ ，$X:=\sum X_i$ ，则 $Pr[X-E[X]\geq z]\le 2exp(\frac{-2z^2}{m(t-s)^2})$ 。

看一下式子就可以发现：常数个 $m$ 就能使误差极大概率控制在 $\epsilon nc$ 以内。

具体的，需要 $1-\delta$ 的正确率时我们取 $m=O(\frac{1}{\epsilon^2}\log(\frac{1}{\delta}))$ 。

看来误差的分析是跟每次查询的点关系不大的，无论查询如何，我们都能将误差控制在 $\epsilon nc$ ，也即 $\epsilon \sum dis(A_i,P)$ 内。

考虑一般的情况，考虑按 $dis(A_i,P)$ 倍增分块，将这些点分成 $log_2V$ 层即可，我们仍然把误差控制在了 $\epsilon \sum dis(A_i,P)$ 内。

看来，只需要选取合理的中心点 $P$ 即可。

我们并不需要让 $\sum dis(A_i,P)$ 严格最小：在最优值的常数倍以内都是能接受的。

直接在给出的点里随几个点，取最优的即可。

理由考虑计算这样随，$\sum dis(A_i,P)$ 的期望，是不超过 $2$ 倍的最优值的。

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Count-min Sketch

先看这样一个问题：输入 $N$ 个 $[n]$ 上的整数，结束后给定 $i$ ，(近似)回答 $i$ 出现次数。

Count-min Sketch 支持用 $\frac{poly\log n}{\epsilon}$ 的空间复杂度，查询、插入时间复杂度亦为 $\frac{poly\log n}{\epsilon}$ ，做到：估计值 $C'$ 和正式值 $C$ 之间满足 $C\le C'\le C+\epsilon N$ 。

考虑哈希，找一个哈希函数 $h:[n]\rightarrow [m]$ ，我们开个大小为 $m$ 的桶 $t$ ，算 $i$ 出现次数就看 $t_{h(i)}$ 即可。如果哈希函数足够均匀随机那容易分析出来 $\mathbb{E}[C']\le C+\frac{n}{m}$ 。

Markov inequality：

若随机变量 $X\geq 0$ ，则 $Pr(X\geq a)\le \frac{\mathbb{E}[x]}{a}$ 。

对 $X=C'-C$ 用这个定理，就可以得到 $Pr(X\geq n\epsilon)\le \frac{1}{m\epsilon}$ 。

看来取 $m=\frac{2 }{\epsilon}$ 就有 $\frac{1}{2}$ 的成功率了。

取 $O(\log n)$ 个哈希函数，把求得的 $C'$ 取 $\min$ ，成功率就非常高了。