2024.3

SCOI 的故事说明我确实是一个下限很低，上限不高的选手。DAY2 翻盘很爽，但事实上这两天加起来就是个 Ag 表现。PKUWC 的时候也是很不稳定啊。

现在最大的能提升的地方，大概就是让自己的状态保持成一种能流畅想题的心平气和的状态吧。动不动就崩盘真的受不了。修炼自己的心，别太散漫，但也别太急。

做好该做的事情。不要走 Cu 的老路了。

打 JOISC 发现自己水平退化成二流选手了怎么办捏

下面是 whk 期间用空余时间做的一些好题+一句话题解

-1.SCOI D1T2

送命题。

用 SGU209 的方法划分出 $O(n^2)$ 个区域。然后需对每个区域计算有多少条直线在它右手，注意到相邻区域间的权值差只和隔开它们的直线有关系，于是随便 dfs/bfs 一下就算出来了。总复杂度应该是 $O(n^3\log n)$ 。

0. SCOID2T2

救命题。

首先要观察到答案 $\le 2$ 。转化成对 $O(1)$ 个图维护左上角到右下角的割边。随便取一条 (1,1) 到 (n,m) 的路径，对每个点记下它在生成树上往上走遇到的第一个这条路径上的点，则每次连边就直接转化成区间覆盖了。

1. 联考D1T2 按位确定答案，即可避免每次遍历 trie。

2. 联考D2T1 记 $dp_{i,j}$ 为第 $i$ 个点代表的序列开头为 $j$ 的最小费用，即可转移并以此得到方案。

3. 联考D2T2 经典 DAG 容斥，把系数想清楚就好了。最后要拉插优化压掉一个 $n$ 。

(D1T3&D2T3 咕一下。)

4. AGC057E RowCol/ColRow Sort

分析 01 看性质，再对 $0\le x<10$ 观察 $t_{i,j}=[A_{i,j}\geq x]$ ，则每一层的 $t$ 都是本质相同的。只需对上一层的任意一个 $t$ ，计算下一层的 $t$ 的方法即可，分析清楚后就是经典的 dp。

5. P6730 [WC2020] 猜数游戏

先把问题抽象成一个图上数合法子图的问题。然后这个图有很特殊的性质，就容易计数了。

6. P5548 [BJ United Round #3] 押韵

比较难的一步是算小多项式(二元)的 $n$ 次幂，其实是和一元相同的，只不过变成求偏导。令 $G=F^k$，则 $G'=kF'F^{k-1}$ ，即 $FG'=kF'G$ 。比较两边系数即可递推出 $G$ 。

7. [ARC139F] Many Xor Optimization Problems q-binomial 练手好题。

8. P9366 [ICPC2022 Xi'an R] Square Grid 反射容斥好题，二维象棋世界。

9. P9623 [ICPC2020 Nanjing R] Baby's First Suffix Array Problem

怎么说呢，一些看似比较难的数点问题可以用分治轻松化解。

(ucup2-25:13个套路题。)

10. P10256 高仿的 Migos 注意到 $[x_i,i)$ 之间只有相交或包含关系，由此即可建树计算了。

11. CF1930I Counting is Fun

最难的一步是计算 $g_n$ 表示从 $(0,0)$ 出发走到 $(n,k)$ 使 $k$ 为纵坐标最大值的方案数。

直接套用象棋世界的做法，则 $g_n$ 能表示成 $[x^0]C(x+x^{-1})^n$ 的形式，分治计算即可。

(没看 DAY1)

12. JOISC D2T1 分别设计出了 $O(nk\log n)$ 和 $O(\frac{n^2}{k})$ 的做法然后拼起来。

13. JOISC D2T3 分类讨论题。

14. JOISC D3T2 类似于 ddp 的套路题。

15. JOISC D3T3 $AD\le B$ 是容易的。 $AD>B$ 时，考虑看成一个无尽的网格图，每行有 $d$ 个格子。每次可以往下往右走，也可以以 $1$ 的代价从一行末尾走到下一行开头。这样转化之后问题就挺明了了。这 trick 见过很多遍了，赛时竟没想到，一躺床上就想到了，主要是心理有些浮躁了。

16. JOISC D4T1 根号分治。

17. JOISC D4T2 以 $1$ 为根，通过 $ask(1,i)$ 得到 bfs 序，然后每次取还没找到父亲的点中 bfs 序最小的 $u$，从 $j=1$ 开始不断查 $v=ask(u,j)$ ，如果 $v$ 的 bfs 序在 $u$ 前面那 $f_u=v$；否则 $f_v=u$ ，并令 $j:=j+1$ 。因为每次查询都确定了一个新的 $f_i$ ，所以只会弄 $n-1$ 次就结束了，加上前面的 $ask(1,i)$ ，就是 $2n-2$ 次。

18. JOISC D4T3 首先三元环个数可以转化成 $\tbinom{n}{3}-\sum \tbinom{d_i}{2}$ 。$\sum d_i$ 的上界显然在 $d_i=i-1$ 时取到；而下界就是尽量平均地分 $d_i$ 。打表可以发现这中间的值都是能取到的，可以通过以下的调整方式完成：令 $t_i$ 为 $\sum [d_j=i]$ ，从 $d$ 最平均的状态开始，每次选一个 $t_i\geq 2$ 且 $i$ 最大的位置，并使 $t_i$ 减掉 $2$ ，$t_{i-1},t_{i+1}$ 各加 $1$ ，显然每次 $\sum \tbinom{d_i}{2}$ 加上 $1$，而且可以通过打表发现这样的调整始终满足兰道定理。但这样调整次数会达到 $O(n^3)$ 的级别。 优化的方法是，如果 $d_n$ 可以 $=n-1$ 就直接填，递归到 $n-1$ 的情况，可以发现这样最后就只需调整 $O(n^2)$ 次了。复杂度即 $O(n^2\log n)$ 或 $O(n^2)$ 。

19. CF1924E Paper Cutting Again

可以看成是将 $n+m-2$ 条切割线任意排序，其中有效线的期望。期望线性性，拆成每条线有效的概率。有效线的话，以 $x=i$ 这条线为例，要求 $x=j$ 满足 $j<i$ 的线都在这条线后面；且为了满足面积 $\geq k$ ，需要 $y=j$ 满足 $ij<k$ 的线都在这条线后面。设二者的个数和为 $a$ ，则该线有效的概率显然为 $\frac{1}{a+1}$ 。最后加起来就好了。

20. gym104030K Keyboard Queries

维护 $a_i$ 表示每个点当前所属联通块的编号，同时维护 $a$ 的反串 $a'$，每次新加入回文串时利用 哈希+BIT 求出 $a[l:]$ 和 $a'[n-r+1:]$ 的 lcp，这样我们每次都会连一条新的有效边，单次复杂度 $O(\log^2n)$，总共 $O(n\log^2n)$ 。合并两个联通块时启发式合并即可，有 $O(n\log n)$ 次对 $a/a'$ 的修改，复杂度仍是 $O(n\log^2n)$ 的。查询就是直接哈希判断。

21. gym103860I Reverse LIS

至多 $k$ 次操作后的最大 LIS 可以转化成：取一个最长的子序列，使得其操作至多 $k$ 次后能变成 $00\dots0011\dots 11$ 。可以发现这只和连续段个数以及开头连续段类别有关。于是考虑记 $dp_{i,0/1,0/1,j}$ 表示考虑了 $[1,i]$ ，当前有 $j$ 个连续段以及开头末尾的状态，子序列的最大长度。但这是 $O(n^2)$ 的，考虑优化。注意到这个 dp 是凸的，即 $dp_{i,0/1,0/1,x}$ 是凸的。于是我们在线段树上进行 dp，对于每个节点 $p$ 记下来 $dp_{p,0/1,0/1,x}$ ，定义和上面是类似的。合并左右端点就是闵可夫斯基和一下，复杂度 $O(n\log n)$ ，常数较大。

22. gym103428C Assign or Multiply

先求出 $p$ 的原根，转化成一个模意义下的 01 背包问题。

每次加入一个物品，需要找到所有 $dp_x=1$ 和 $dp_{(x+a)\bmod p}=0$ 的位置。直接找是困难的，但我们注意到，$dp_x=0$ 且 $dp_{(x+a)\bmod p}=1$ 的位置数量是相等的！理由是 $(x,(x+a)\bmod p)$ 形成了若干个环，每个环上 $01$ 个数和 $10$ 个数一定相同。

于是把 $dp$ 复制两份，找出 $[0,p)$ 和 $[a,p+a)$ 中所有不相同的位置即可。BIT 维护哈希数组，每次二分算 lcp 即可，复杂度 $O(n\log^2n)$ 。