4月杂题
距离 NOI2023 还有 109 天，不能再沉溺于省选的成功了。开始更新博客！
4 月重点在 whk 上，不会更很多，为了调和 whk 的。
1.[NOI 2023 联合省选] 填数游戏
考虑对于第 \(i\) 个数，把 \(T_i\) 中的两个数连边，特别地，只有一个数连自环。
此时每个连通块只能是树/基环树。
基环树是好做的，因为后手只有两种取法，算一算就好了。
对于树，可以转化成：点有权值，对于一些边可以子树内+1/子树外+1，要使得最小点权最大。
有结论：取子树内的边一定是根到某个点 \(x\) 路径上所有能取的边。
原因是，考虑两个没有祖先关系的子树，同时取子树内不如同时取祖先外；对于两个有祖先关系的 \(x,f\) ，\(x\) 取子树内，\(f\) 取子树外不如 \(x\) 取子树外，\(f\) 取子树内。
可以画图理解一下。
由此，两遍 dfs ，第一次把每个子树的点权最小值算出来，第二次计算每个 \(x\) 的答案即可。复杂度是线性的。哎，这个没做出来很拉。
2.P4769 [NOI2018] 冒泡排序
首先观察到有 \(x>y>z\) 就寄了，继而发现没有 \(x>y>z\) 这个条件是充要的,而这个又能用某 D 氏定理转化成，能够拆成两个上升子序列。
先做没有字典序的限制，考虑取的两个子序列，一定有一个的末端是全局最大值。\(f_{i,j}\) 表示还要填 \(i\) 个数，其中 \(j\) 个数 > 另一个子序列末端。
讨论一下发现 \(f_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^j f_{i-1,k}\) 。把图画出来就一目了然了，就可以把 \(f\) 写成两个组合数相减的形式。
至于有字典序的限制，枚举相同的前缀后，大概需要求一个 \(\sum\limits_{k=0}^p f_{n,k}\) ，根据定义这就是 \(f_{n+1,p}\) ，就做完了。
3.CF1508D Swap Pass
首先，如果排列只形成一个置换环，就随便取一个点连菊花即可。
现在有多个环，考虑通过一些操作变成一个环，且尽量不影响答案。我们知道，还是考虑最后的菊花，发现按极角排序后，每次取相邻两个不在同一环的点交换即可。
需要注意的是不要取夹角 > 180 度的两个点，简单的解决方法是一开始取横坐标最小的点。
4.CF1610F Mashtali: a Space Oddysey
首先思考只有边权为 \(1\) 怎么做，发现把度数为奇数的点都连向一个虚拟点，跑欧拉回路即可。
对于有边权为 \(2\) ，它取的方法可能很多，但我们尝试强化条件，来更方便的构造欧拉回路：
我们设 \(a_x\) 表示 \(x\) 考虑边权为 \(1\) 时的度数，\(b_x\) 表示为 \(2\) 的度数。
若 \(a_x,b_x\) 有一个是偶数，则为偶数的要求入=出，为奇数的要求 |入-出|=1，这样一定满足条件。
若 \(a_x,b_x\) 皆为奇数，则需要一个入-出=1，一个出-入=1。
发现除了第二种情况，我们完全可以拆成两个图分别处理问题。处理第二种情况，在 \(x\) 和 \(x+n\) 连边即可。
5.CF1781G Diverse Coloring
树上的构造有很多都是从叶子开始玩，这个题也不例外。
先观察样例，大多数时候答案都是 点数 mod 2。其实只有样例给出的情况会使答案变大。
核心：尝试把树剖成一些长度为 \(2\) or \(3\) 的链。如果能剖出来就做完了。回忆一下，我已经见过重链剖分，长链剖分，菊花剖分了。这个叫短链剖分吗（
剖是很容易的：由于是二叉树，从下而上贪心的弄，传到父亲时要么剖好了要么剩一个根。
对于当前点如果两边剩至少一个就能串起来，都没剩的话，考虑如果有一个儿子连的是长度为 \(2\) 的链，也能串起来。
这样子搞，如果最后还剩一个点，分两种情况：
如果这个根有两个儿子，就直接串起来形成一个 \(7\) 连通块，它一定能黑白染色使得 4黑 3白 且满足题目条件，可以讨论一下。
只有一个儿子就不好搞，所以我们的构造一开始就取度数为 \(2\) 的当根。
没有度数为 \(2\) 的点时：
如果是样例的情况就寄了。
否则，考虑取一对兄弟叶子，把这俩点和父亲串成一个三连通块然后删掉，这样子它们的爷爷度数就为 \(2\) 了。
6.P5518 [MtOI2019]幽灵乐团
最难的 case： \(\prod\limits_{i=1}^A \prod\limits_{j=1}^B \prod\limits_{k=1}^C \gcd(i,j)^{\gcd(i,j,k)}\) .
考虑对 \(\gcd(i,j,k)\) 施加 \(\varphi*I=ID\) ,可得 \(\prod\limits_{p=1}(\prod\limits_{i=1}^{\left\lfloor\dfrac{A}{p}\right\rfloor}\prod\limits_{j=1}^{\left\lfloor\dfrac{B}{p}\right\rfloor}p\gcd(i,j))^{\varphi(p)\left\lfloor\dfrac{C}{p}\right\rfloor}\) 。
考虑计算 \(f(i,j)=\prod\limits_{i=1}^{A}\prod\limits_{j=1}^{B}\gcd(i,j)\) 。枚举 \(\gcd(i,j)\) 并施加 \(\mu*I=e\) ,可得 \(\prod\limits_{p=1}\prod\limits_{d=1}p^{\mu(d)\left\lfloor\dfrac{A}{pd}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{B}{pd}\right\rfloor}\) 。
\(O(n\log n)\) 预处理 \(g_T=\prod_{d|T} d^{\mu(\frac{T}{d})}\) ,上式枚举 \(pd=T\) 可得 \(\prod\limits_{T=1}g_T^{\left\lfloor\dfrac{A}{T}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{B}{T}\right\rfloor}\) ,整除分块即可 \(O(\sqrt{n}\log n)\) 算出。
回到一开始要求式子，可写成 \(\prod\limits_{p=1}(p^{\left\lfloor\dfrac{A}{p}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{B}{p}\right\rfloor}f(\left\lfloor\dfrac{A}{p}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{B}{p}\right\rfloor))^{\varphi(p)\left\lfloor\dfrac{C}{p}\right\rfloor}\) 。
预处理 \(p^{\varphi(p)}\) 的前缀积即可。复杂度是 \((\sum\limits_{i=1}^{\sqrt{n}} \sqrt{n/i})\log n=n^{\frac{3}{4}}\log n\) 。
这篇写完以后我停更了很长一段时间，一开始觉得写博客浪费时间就断掉了，后来发现训练状态越来越差，整天在机房无所事事。看来博客对我来讲是很重要的调节方式啊。
和妹子聊天也是极好的，但我也很久没机会和她接触了。
现在是 5 月 3 日，把摆烂期间做的一些题记下来。
7.CF1801G A task for substrings
先考虑一个前缀怎么做，发现可以建 AC 自动机在上面跑。考虑把 \([x,y]\) 的答案拆成两个前缀的答案相减，再减 \(1\le l<x\le r\le y\) 的串贡献。
如果没有 \(y\) 的限制，考虑我们用对正反串分别建出 AC 自动机，则可以把问题转化成，现在得到两个点，分别取一个在 fail 树的祖先，使得拼起来是一个给出的串。
我们枚举给出的串以及划分的位置，就可以通过拍 dfn 序转化成二维偏序了。
现在考虑 \(y\) 的限制，相当于是要倍增到一个长度 \(\le y-x+1\) 的点，这是简单的。
