8.23-8.25小记

题目名	算法	感悟
CF1023G	最小链覆盖=最大反链；dsu on tree	感觉难搞的是ds部分呢。善用map.jpg
CF1322E	“类”二分答案	一种思想：转化成\([\le mid]\)序列思考问题
[AHOI2022]钥匙	虚树+BIT	小清新ds，善用性质
CF1677E	BIT	小小清新ds，但是CF只有2h
[JOISC2020]首都	虚树+倍增优化建图+tarjan	挺一眼的我只能说
[NOIOL 2021 TG] 愤怒的小 N	拉插+一个结论	没见过的话赛场只能打表看吧。善找规律。
ARC146D	拆限制	我的评价是比C简单

我觉得需要讲点题。

CF1322E Median Mountain Range

一句话题意是给定序列 \(a\) ，每次把 \([2,n-1]\) 的数变成 \(median(a_{i-1},a_i,a_{i+1})\) 其中 \(median\) 是中位数。

然后问多久 \(a\) 能固定下来，以及最终的序列。

乍一看没想法，但考虑如果是01序列，咋就会做了嘛。因为观察到相邻两个数如果相等，那它们就固定了不会改变，以此把序列划分成若干段 \(010101010……\)

然后分类讨论一下即可。拓展到一般问题，可以枚举一个 \(x\) ，并且使 \(b_i=[x\le a_i]\) 。

序列固定下来的时间，就是所有 \(b\) 序列固定时间的 \(\max\) 。最终的序列，就是枚举到哪个 \(x\) 时， \(b\) 的终止态 \(c\) 对应位置为 \(1\)

这就做完了啊。开几个 \(set\) 维护一下，\(x\) 从小往大相当于把一些 \(b_i\) 赋为 \(1\) 。

P5469 [NOI2019] 机器人

早点做这个题俺是不是就进省队了.jpg 这套路真的能搬到今年省选D1T2啊。

首先有个显然的 dp 就是 \(f(i,j,k)\) 表示区间 \([i,j]\) 最大值为 \(k\) 的方案数。

然后发现　\(f(i,j)\) 是一个关于 \(k\) 的分段多项式。我们直接dp算一段点值，再拉插即可。

P7468 [NOI Online 2021 提高组] 愤怒的小 N

当年写这题 \(60\) 部分分写了一整场也没调出来，然后现在看这个题还是只会 \(60\) /cy

一个结论：\([0,2^k)\) 内，对于 \(p<k\) ，popcount为奇数的所有数的 \(p\) 次和 = popcount为偶数的所有数的 \(p\) 次和

就直接归纳，然后列成 \(\sum F(2i+1)-F(2i)\) 的形式，拆一拆即可。

CF1268D Invertation in Tournament

这题虽然有很多结论，但是都是基于竞赛图缩了点后是个链这件事。然后结论就是 \(n>6\) 时 \(ans\le 1\)

兰道定理：怎么快速判竞赛图强联通。

就是考虑 \(s_i\) 是所有点出度从小到大排序后的前缀和，首先一个竞赛图一定满足 \(C(k,2)\le s_i\)

然后如果存在 \(i<n\) 使 \(C(i,2)=s_i\) 那它就不是强联通啦 感觉这个挺显然的。

CF1712F Triameter

一句话题意： 一棵树，\(t_i\) 表示 \(i\) 到最近叶子距离节点的距离， \(q\) 次询问,给出 \(x\) 求 \(\min(t_i+t_j+x,dis(i,j))\) 的最大值。

\(q\le 10,n\le 1000000\)

挺有逼格啊。本人想了个二分答案的做法，计算 \(t_i\) 相同的点集的直径再二分答案双指针算，是 \(O(qn\log n)\) 的过不去 /kk

其实就是格局小了。我们考虑 \(dis(i,j)=d_i+d_j-2d_{lca(i,j)}\) 对吧。

然后进行一次 \(dfs\) ，合并子树信息，在 \(lca\) 处统计答案。

记 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树内 \(t_x=j\) 的 \(d_x\) 最小值。

我们用类似长链剖分的方法，即可对 \(f\) 合并。发现合并的时候可以顺便更新答案。

具体的，\(f_{v,*}\) 向 \(f_{u,*}\) 合并，这边枚举了一个 \(f_{v,i}\) ，然后考虑当前答案 \(ans\) ，若枚举 \(f_{u,j}\) 一定有 \(j>ans-i-x\)

考虑 \(t\) 的性质。所以 \(f_{x,*}\) 是有单调性的。以 \(f_{v,i}+f_{u,ans+1-i-x}-2d_u\) 更新 \(ans\) 即可。

不仅得绕开思维的茧去想一些正统做法，还得以类似 \(manacher\) 的方法一点点更新答案，我实在想不到啊。