8.1-8.4总结
这几天代码能力简直掉成PJ水平了……各种数组开小+读错题+没考虑完
第一个是模拟赛。本来是原题大赛，可以AK的，但是T3没注意到是多测。这个暑假因为不看输出格式已经G了两道题了，事不过三。
第二个是CF Div2。本来是水题大赛，可以AK的，结果因为F读错题被卡了n年。然后导致E没时间调：Wa on 8 以为是做法假了，结果是数组开小。
顺便记录一下我读成什么题，以及想到的做法：\(F\) 是出现了奇数次的球的个数。
然后还是先用第二类斯特林数，转成 \(\sum C(F,i)\) 的形式，考虑钦定 \(i\) 个球，都出现奇数次的方案数。
用EGF表示一个这样的球，就是 \((e^x-e^{-x})/2\)
普通的球就是 \(e^x\) ，所以答案就是 \([x^n]((e^x-e^{-x})/2)^ie^{x(m-i)}\)
直接展开 \(((e^x-e^{-x})/2)^i\) 这一坨，然后对于每一项算系数就好了。
\(O(k^2)\) 的，过不去。而且注意到还要每次算快速幂，最后还得算 \(n!\) 的阶乘，实际上是 \(O(k^2\log n+n)\) 的。更离谱了。
于是就发现读错题了。读对题后发现就是个蠢题。
第三个是多校。打的还行，至少我们队把大众 7 题给打满了。
然后来做题记录吧。
[ARC068D] Solitaire
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对于能否拆成两个递减序列这种问题，可以用最小链覆盖=最大反链，转化成有没有长度为3的递增子序列。
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列出来一些dp式子后可以放到坐标系上思考，这是很常见的。
某道题
我们有时想估计一个东西 \(x\) 能取到的最小值，我们可以求它的期望来得到。
loj3405 Gem Island 2
原版的结论：每个终止状态出现概率相同。
然后考虑这个前 \(r\) 大的数的和，我们不妨枚举 \(i\) 以及 \(P=\sum [i\le a_j]\) ，然后贡献就是 \(\min(P,r)\)
这个其实就是排了序，画个柱状图，再侧个方向看的思想。
枚举完了 \(i\) 和 \(P\) ,用生成函数来处理限制，答案就是
\([x^d]\frac{1}{(1-x)^n}\sum_ {i=1} \sum_{P\le n}\tbinom{n}{P} (\frac{x^i}{1-x})^P(\frac{1-x^i}{1-x})^{n-P}\min(r,P)\)
发现枚举 \(i\) 是比较鸡肋的，令 \(F(x)=\sum_{P\le n}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}\min(r,P)\)
然后原来的式子可变成 \([x^d]\frac{1}{(1-x)^n}\sum_ {i=1}F(x^i)\)
如果算出来 \(F\) 那直接搞个狄利克雷前缀和就做完了。
算 \(F\) ？首先这个 \(\min\) 就很丑啊。我们把它拆了。
\(F(x)=\sum_{P\le r}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}(P-r)+\sum_{P\le n}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}r=r+\sum_{P\le r}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}P-r\sum_{P\le r}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}\)
啊把 \(P\) 换成 \(i\) 吧，式子越来越丑了。
先看 \(\sum_{i\le r}\tbinom{n}{i} x^i(1-x)^{n-i}i=nx\sum_{i\le r-1}\tbinom{n-1}{i} x^{i}(1-x)^{n-1-i}\)
所以主攻 \(G(x)=\sum_{i\le r}\tbinom{n}{i} x^i(1-x)^{n-i}\)
尝试展开 \((1-x)^{n-i}\) ，变成了 \(\sum_{i\le r}\tbinom{n}{i} x^i\sum_{j\le n-i} \tbinom{n-i}{j}(-x)^j\)
发现两个组合数有点像，所以直接展开变成 \(n!\sum_{i\le r}\frac{1}{i!} x^i\sum_{j\le n-i} \frac{1}{(n-i-j)!j!}(-x)^j\)
考虑 \(x^d\) 的系数就是 \(\sum_{i+j=d ,i\le r} \frac{1}{i!}\frac{(-1)^j}{j!}\)
所以关键就是求 \(H(x)=(\sum_{i=0}^r \frac{x^i}{i!})(\sum_{j=0}\frac{(-x)^j}{j!})=e^{-x}(\sum_{i=0}^r \frac{x^i}{i!})\)
发现 \(H'(x)=\frac{-x^r}{r!}e^{-x}\) ，就做完了。
GDKOI2021 某道题
题意大概是 \(f_i=\sum_{j=1}^{i-1}f_{j}f_{i-j}p_j\)
其中有 有 \(m\) 个条件 \(P_{a_i}=b_i\) ，其余的 \(p_{i}=A\)
然后让你求 \(f_n\) 。\(n\le 10^6,m\le 10,a_i<a_{i+1}\) ，模数是 \(10^9+7\)
一段一段的算，对于\((a_i,a_{i+1})\) 这部分可以得到一个 \(F(x)=AF(x)^2+G(x)F(x)+x\) ，其中 \(G(x)=\sum_{j\le i} x^{a_j}f_{a_j}b_j\)
然后呢 \(F(x)=\frac{-G(x)-\sqrt{G(x)^2-4Ax}}{2A}\) ，对着算就完了。
这里有个技巧：求 \(B(x)=A(x)^k\) ，就对它求导，同乘 \(A(x)\) 得到 \(kA'(x)B(x)=B'(x)A(x)\) ，然后能递推算
GDKOI2021 另一道题
题意大概是有一些黑点，\(n\le 15\)
然后一天时间内，一个格子变成周围四个格子的异或。
问 \(L\) 天到 \(R\) 天间每天黑点数量的和。
我们搞个经典的 \((x_i,y_i)->(x_i+y_i,x_i-y_i)\) ，每次就变成了 \((x±1，y±1)\)
我们按 \(x_i\) 的奇偶把点分成两堆。
然后怎么判断一个格子 \((X,Y)\) 在 \(T\) 天的时候的状态，就是 \(\sum \tbinom{T}{\tfrac{x_i-X+T}{2}}\tbinom{T}{\tfrac{y_i-Y+T}{2}}\) 是否为奇。
判断组合数的奇偶，想到了卢卡斯定理。我们钦定一个子集 \(S\)，使得对于 \(i\in S\) \(\tbinom{T}{\tfrac{x_i-X+T}{2}}\tbinom{T}{\tfrac{y_i-Y+T}{2}}\) 是奇数。
我们钦定完子集后，注意到整体平移不影响答案，所以转化成所有 \(x_i,y_i\) 都是非负的偶数。
枚举 \(x=\frac{T-X}{2},y=\frac{T-Y}{2}\) 就变成有多少 \(T,X,Y\) 满足所有 \(\tbinom{T}{x_i+x}\) 及 \(\tbinom{T}{y_i+y}\) 是奇数。
数位 \(dp\) 即可，从低到高 \(dp\) 并记录 \(T\) 卡到 \(lim\) 没有，以及有多少个 \(x_i+x\) 进了位，多少个 \(y_i+y\) 进了位。
越大的数越容易进位，所以确定多少个进了位，哪些 \(i\) 进了位就确定了。
复杂度 \(O(2^nn^2\log V)\)
