8.1-8.4总结

这几天代码能力简直掉成PJ水平了……各种数组开小+读错题+没考虑完

第一个是模拟赛。本来是原题大赛，可以AK的，但是T3没注意到是多测。这个暑假因为不看输出格式已经G了两道题了，事不过三。

第二个是CF Div2。本来是水题大赛，可以AK的，结果因为F读错题被卡了n年。然后导致E没时间调：Wa on 8 以为是做法假了，结果是数组开小。

顺便记录一下我读成什么题，以及想到的做法：$F$ 是出现了奇数次的球的个数。

然后还是先用第二类斯特林数，转成 $\sum C(F,i)$ 的形式，考虑钦定 $i$ 个球，都出现奇数次的方案数。

用EGF表示一个这样的球，就是 $(e^x-e^{-x})/2$

普通的球就是 $e^x$ ，所以答案就是 $[x^n]((e^x-e^{-x})/2)^ie^{x(m-i)}$

直接展开 $((e^x-e^{-x})/2)^i$ 这一坨，然后对于每一项算系数就好了。

$O(k^2)$ 的，过不去。而且注意到还要每次算快速幂，最后还得算 $n!$ 的阶乘，实际上是 $O(k^2\log n+n)$ 的。更离谱了。

于是就发现读错题了。读对题后发现就是个蠢题。

第三个是多校。打的还行，至少我们队把大众 7 题给打满了。

然后来做题记录吧。

[ARC068D] Solitaire

1. 对于能否拆成两个递减序列这种问题，可以用最小链覆盖=最大反链，转化成有没有长度为3的递增子序列。

2. 列出来一些dp式子后可以放到坐标系上思考，这是很常见的。

某道题

我们有时想估计一个东西 $x$ 能取到的最小值，我们可以求它的期望来得到。

loj3405 Gem Island 2

原版的结论：每个终止状态出现概率相同。

然后考虑这个前 $r$ 大的数的和，我们不妨枚举 $i$ 以及 $P=\sum [i\le a_j]$ ，然后贡献就是 $\min(P,r)$

这个其实就是排了序，画个柱状图，再侧个方向看的思想。

枚举完了 $i$ 和 $P$ ,用生成函数来处理限制，答案就是

$[x^d]\frac{1}{(1-x)^n}\sum_ {i=1} \sum_{P\le n}\tbinom{n}{P} (\frac{x^i}{1-x})^P(\frac{1-x^i}{1-x})^{n-P}\min(r,P)$

发现枚举 $i$ 是比较鸡肋的，令 $F(x)=\sum_{P\le n}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}\min(r,P)$

然后原来的式子可变成 $[x^d]\frac{1}{(1-x)^n}\sum_ {i=1}F(x^i)$

如果算出来 $F$ 那直接搞个狄利克雷前缀和就做完了。

算 $F$ ？首先这个 $\min$ 就很丑啊。我们把它拆了。

$F(x)=\sum_{P\le r}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}(P-r)+\sum_{P\le n}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}r=r+\sum_{P\le r}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}P-r\sum_{P\le r}\tbinom{n}{P} x^P(1-x)^{n-P}$

啊把 $P$ 换成 $i$ 吧，式子越来越丑了。

先看 $\sum_{i\le r}\tbinom{n}{i} x^i(1-x)^{n-i}i=nx\sum_{i\le r-1}\tbinom{n-1}{i} x^{i}(1-x)^{n-1-i}$

所以主攻 $G(x)=\sum_{i\le r}\tbinom{n}{i} x^i(1-x)^{n-i}$

尝试展开 $(1-x)^{n-i}$ ，变成了 $\sum_{i\le r}\tbinom{n}{i} x^i\sum_{j\le n-i} \tbinom{n-i}{j}(-x)^j$

发现两个组合数有点像，所以直接展开变成 $n!\sum_{i\le r}\frac{1}{i!} x^i\sum_{j\le n-i} \frac{1}{(n-i-j)!j!}(-x)^j$

考虑 $x^d$ 的系数就是 $\sum_{i+j=d ,i\le r} \frac{1}{i!}\frac{(-1)^j}{j!}$

所以关键就是求 $H(x)=(\sum_{i=0}^r \frac{x^i}{i!})(\sum_{j=0}\frac{(-x)^j}{j!})=e^{-x}(\sum_{i=0}^r \frac{x^i}{i!})$

发现 $H'(x)=\frac{-x^r}{r!}e^{-x}$ ，就做完了。

GDKOI2021 某道题

题意大概是 $f_i=\sum_{j=1}^{i-1}f_{j}f_{i-j}p_j$

其中有 有 $m$ 个条件 $P_{a_i}=b_i$ ，其余的 $p_{i}=A$

然后让你求 $f_n$ 。$n\le 10^6,m\le 10,a_i<a_{i+1}$ ，模数是 $10^9+7$

一段一段的算，对于$(a_i,a_{i+1})$ 这部分可以得到一个 $F(x)=AF(x)^2+G(x)F(x)+x$ ，其中 $G(x)=\sum_{j\le i} x^{a_j}f_{a_j}b_j$

然后呢 $F(x)=\frac{-G(x)-\sqrt{G(x)^2-4Ax}}{2A}$ ，对着算就完了。

这里有个技巧：求 $B(x)=A(x)^k$ ，就对它求导，同乘 $A(x)$ 得到 $kA'(x)B(x)=B'(x)A(x)$ ，然后能递推算

GDKOI2021 另一道题

题意大概是有一些黑点，$n\le 15$

然后一天时间内，一个格子变成周围四个格子的异或。

问 $L$ 天到 $R$ 天间每天黑点数量的和。

我们搞个经典的 $(x_i,y_i)->(x_i+y_i,x_i-y_i)$ ，每次就变成了 $(x±1，y±1)$

我们按 $x_i$ 的奇偶把点分成两堆。

然后怎么判断一个格子 $(X,Y)$ 在 $T$ 天的时候的状态，就是 $\sum \tbinom{T}{\tfrac{x_i-X+T}{2}}\tbinom{T}{\tfrac{y_i-Y+T}{2}}$ 是否为奇。

判断组合数的奇偶，想到了卢卡斯定理。我们钦定一个子集 $S$，使得对于 $i\in S$ $\tbinom{T}{\tfrac{x_i-X+T}{2}}\tbinom{T}{\tfrac{y_i-Y+T}{2}}$ 是奇数。

我们钦定完子集后，注意到整体平移不影响答案，所以转化成所有 $x_i,y_i$ 都是非负的偶数。

枚举 $x=\frac{T-X}{2},y=\frac{T-Y}{2}$ 就变成有多少 $T,X,Y$ 满足所有 $\tbinom{T}{x_i+x}$ 及 $\tbinom{T}{y_i+y}$ 是奇数。

数位 $dp$ 即可，从低到高 $dp$ 并记录 $T$ 卡到 $lim$ 没有，以及有多少个 $x_i+x$ 进了位，多少个 $y_i+y$ 进了位。

越大的数越容易进位，所以确定多少个进了位，哪些 $i$ 进了位就确定了。

复杂度 $O(2^nn^2\log V)$