7.28-7.31 总结

一.比赛总结

1. 打了一场模拟赛。签到题读错题了，乐，眼睁睁看着一车人过。还有一个题直接猜错结论，以后要提防。

2. 打了一场多校，写了4个题。但是不会差分约束题，shame，一眼鉴定为PJ水平。

3. 打了ARC，构造抓瞎，菜死了。

4. 今晚 CF 准备好丢脸了。

二.题目总结

感觉写详细题解太累了。每个题点到就好。

CF1458F Range Diameter Sum：

1. 这个树上圆理论很厉害啊。

2. 处理一个序列所有区间，可以尝试分治，转换成处理跨越 $mid$ 的，使问题得到简化。这是常见的思想。

3. 点分树真好用。

P3346 [ZJOI2015]诸神眷顾的幻想乡

1. 广义SAM真是个神奇的东西。

2. 注意一个结论：树上每个路径，都可以在某叶子结点做根的情况下，变成直上直下。

CF1214G Feeling Good

$n\le 2000,m\le 2000,q\le 5*10^5$

这个题详细说说。可以转换成 $n$ 个集合，找到没有包含关系的一对集合。集合还带修。

可以 bitset 维护集合。

直接暴力的话， $O(n^2mq/w)$ 过不去。

一个结论是，我们把集合大小排序，然后判是否有一对相邻的能满足。

证明就是反证，分类讨论。

$O(nmq/w)$ 还是过不去。

但是我们可以用 set 来维护这个“集合大小排序”，修改相当于删除和插入。

我们再用一个 set 记录这个答案集合。于是乎就可以做到每次只处理 $O(1)$ 个点对。

$O(mq/w+(n+q)\log n)$

CF1085G Beautiful Matrix

1. 我愿把这个计数部分叫做Ex-错排？但是很好数啊。

2. 处理字典序这种东西，我们永远可以用枚举 $lcp$ 的方法解决。

3. 不清楚为啥能 2900。

AT4376 [AGC027B] Garbage Collector

不要被诈骗了。随便想一个结论迷糊自己是不行的。

UOJ372 滑稽树前做游戏

一句话题意：给你一个无向简单图。$x_i$ 在 $[0,1]$ 均匀分布。f(x)=\max(x_i,x_{u_j}+x_{v_j}))，求 $E(x)$

$n\le 25$ 。

神题。看完题解有一种“朝闻道，夕死可矣”的感觉。

这种什么 $[0,1]$ 均匀分布一般都是在解方程。

看到一堆数的 $max$ ，想到把它转换成小于等于。看到期望，我们把它转化成一堆概率叠起来。

令 $g(t)=P[f(x)\le t]$ ，答案就是 $2-\int_{0}^{2}g(t)\,dt$

于是想办法求 $g$ 。我们想办法先填一些数，来减少限制。

不妨枚举　$x_i$ 最大的 $i$ 。有两种情况:

1. $x_i\le t/2$ ，则一定抵不到 $t$ 。出现这种情况的概率是 $(t/2)^n$。

2. $x_i > t/2$ ，考虑 $i$ 相连的 $j$ ，发现与 $j$ 相连的其他边都没有用了。

于是我们可以把 $i$ 与 $j$ 们删去，形成一个子问题。但是我们注意到此时所有点要 $\le x_i$ ，这就多了一个限制。

所以我们引入新的参数 $w$: 求一个关于 $w$ 和 $t$ 的多项式 $h(G,w,t)$ 表示 $G$ 这个图，$x_i$ 在 $[0,w]$ 间分布，$t$ 还是原意。

就可以得到这样一个式子:$h(G,w,t)=(t/2)^n+\sum \int_{t/2}^{w} (t-x)^k h(G_i,x,t) dx$ ，其中 $G_i$ 表示把 $i$ 和与 $i$ 相连的点删去后的图，$k$ 表示 $i$　的度数。

归纳发现 $h(G,w,t)$ 是个齐次多项式，所以是很好维护的。

直接对着式子算就好了。复杂度是　$O(2^n n^3)$ 的，感觉过不去。

但第一，可以记忆化搜索；第二，一个不连通的图，可以先求每个联通块，再直接乘起来。

某道题

1. 铭记线段树分治。

2. 特殊的边，特殊处理

gym 102331 H

一个见到两次，咕了一年的题。

一句话题意是给定一个序列，每次询问给出 $l,r,k$ ，求 $[l,r]$ 内取 $k$ 个不相交的子段，最大的权值和。

1. 观察到答案关于 $k$ 是上凸的。因为可以转换成费用流。

2. 尝试线段树维护。对于每个节点，求 $g[k,0/1,0/1]$ 表示取了 $k$ 段，两端是否取了。因为是凸的，可以闵可夫斯基和。

3. 但是我们询问的时候没法直接合并这些凸包。

4. 处理凸的问题，别忘了能 wqs　二分。把 $[l,r]$ 拆成 $O(\log n)$ 段后，对于每段在凸包上二分查出最大处。

于是总共是 $O(q\log^3 n)$ 的。没太懂怎么减掉一个 log 。

三.感悟

1. 感觉文学的熏陶对 OI 的学习是有帮助的，今天只是做了会儿语文作业，搞 OI 的时候效率就巨高。

2. 自大是我最大的敌人。要明白自己今年省选纯粹运气好，现在真实实力应该是SC 40名开外，CW 10名开外。不要被蒙蔽了双眼。

3. 我好懒啊。单指硬抗B-X很难受，明白要练双指了。

4. 仍然上不了IM呢，我个废物。距离上M已经过了一年了。不会博弈论，不会构造，啥也不会。纯纯一头猪。