7.28-7.31 总结
一.比赛总结
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打了一场模拟赛。签到题读错题了，乐，眼睁睁看着一车人过。还有一个题直接猜错结论，以后要提防。
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打了一场多校，写了4个题。但是不会差分约束题，shame，一眼鉴定为PJ水平。
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打了ARC，构造抓瞎，菜死了。
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今晚 CF 准备好丢脸了。
二.题目总结
感觉写详细题解太累了。每个题点到就好。
CF1458F Range Diameter Sum：
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这个树上圆理论很厉害啊。
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处理一个序列所有区间，可以尝试分治，转换成处理跨越 \(mid\) 的，使问题得到简化。这是常见的思想。
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点分树真好用。
P3346 [ZJOI2015]诸神眷顾的幻想乡
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广义SAM真是个神奇的东西。
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注意一个结论：树上每个路径，都可以在某叶子结点做根的情况下，变成直上直下。
CF1214G Feeling Good
\(n\le 2000,m\le 2000,q\le 5*10^5\)
这个题详细说说。可以转换成 \(n\) 个集合，找到没有包含关系的一对集合。集合还带修。
可以 bitset 维护集合。
直接暴力的话， \(O(n^2mq/w)\) 过不去。
一个结论是，我们把集合大小排序，然后判是否有一对相邻的能满足。
证明就是反证，分类讨论。
\(O(nmq/w)\) 还是过不去。
但是我们可以用 set 来维护这个“集合大小排序”，修改相当于删除和插入。
我们再用一个 set 记录这个答案集合。于是乎就可以做到每次只处理 \(O(1)\) 个点对。
\(O(mq/w+(n+q)\log n)\)
CF1085G Beautiful Matrix
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我愿把这个计数部分叫做Ex-错排？但是很好数啊。
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处理字典序这种东西，我们永远可以用枚举 \(lcp\) 的方法解决。
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不清楚为啥能 2900。
AT4376 [AGC027B] Garbage Collector
不要被诈骗了。随便想一个结论迷糊自己是不行的。
UOJ372 滑稽树前做游戏
一句话题意：给你一个无向简单图。\(x_i\) 在 \([0,1]\) 均匀分布。f(x)=\max(x_i,x_{u_j}+x_{v_j}))，求 \(E(x)\)
\(n\le 25\) 。
神题。看完题解有一种“朝闻道，夕死可矣”的感觉。
这种什么 \([0,1]\) 均匀分布一般都是在解方程。
看到一堆数的 \(max\) ，想到把它转换成小于等于。看到期望，我们把它转化成一堆概率叠起来。
令 \(g(t)=P[f(x)\le t]\) ，答案就是 \(2-\int_{0}^{2}g(t)\,dt\)
于是想办法求 \(g\) 。我们想办法先填一些数，来减少限制。
不妨枚举 \(x_i\) 最大的 \(i\) 。有两种情况:
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\(x_i\le t/2\) ，则一定抵不到 \(t\) 。出现这种情况的概率是 \((t/2)^n\)。
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\(x_i > t/2\) ，考虑 \(i\) 相连的 \(j\) ，发现与 \(j\) 相连的其他边都没有用了。
于是我们可以把 \(i\) 与 \(j\) 们删去，形成一个子问题。但是我们注意到此时所有点要 \(\le x_i\) ，这就多了一个限制。
所以我们引入新的参数 \(w\): 求一个关于 \(w\) 和 \(t\) 的多项式 \(h(G,w,t)\) 表示 \(G\) 这个图，\(x_i\) 在 \([0,w]\) 间分布，\(t\) 还是原意。
就可以得到这样一个式子:\(h(G,w,t)=(t/2)^n+\sum \int_{t/2}^{w} (t-x)^k h(G_i,x,t) dx\) ，其中 \(G_i\) 表示把 \(i\) 和与 \(i\) 相连的点删去后的图，\(k\) 表示 \(i\) 的度数。
归纳发现 \(h(G,w,t)\) 是个齐次多项式，所以是很好维护的。
直接对着式子算就好了。复杂度是 \(O(2^n n^3)\) 的，感觉过不去。
但第一，可以记忆化搜索；第二，一个不连通的图，可以先求每个联通块，再直接乘起来。
某道题
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铭记线段树分治。
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特殊的边，特殊处理
gym 102331 H
一个见到两次，咕了一年的题。
一句话题意是给定一个序列，每次询问给出 \(l,r,k\) ，求 \([l,r]\) 内取 \(k\) 个不相交的子段，最大的权值和。
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观察到答案关于 \(k\) 是上凸的。因为可以转换成费用流。
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尝试线段树维护。对于每个节点，求 \(g[k,0/1,0/1]\) 表示取了 \(k\) 段，两端是否取了。因为是凸的，可以闵可夫斯基和。
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但是我们询问的时候没法直接合并这些凸包。
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处理凸的问题，别忘了能 wqs 二分。把 \([l,r]\) 拆成 \(O(\log n)\) 段后，对于每段在凸包上二分查出最大处。
于是总共是 \(O(q\log^3 n)\) 的。没太懂怎么减掉一个 log 。
三.感悟
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感觉文学的熏陶对 OI 的学习是有帮助的，今天只是做了会儿语文作业，搞 OI 的时候效率就巨高。
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自大是我最大的敌人。要明白自己今年省选纯粹运气好，现在真实实力应该是SC 40名开外，CW 10名开外。不要被蒙蔽了双眼。
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我好懒啊。单指硬抗B-X很难受，明白要练双指了。
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仍然上不了IM呢，我个废物。距离上M已经过了一年了。不会博弈论，不会构造，啥也不会。纯纯一头猪。
