7.18-7.24 总结
CF1408H Rainbow Triples
标签：模拟费用流，线段树
感觉模拟费用流就是先把图建出来，使问题更直观，再一波乱贪心，用一些DS来维护。
这道题就是极好的例子。啊这个题应该叫模拟最大流？
我们依靠对问题的分析建出来了个图，然后最大流=最小割，就发现图的特殊性质带来的优势，把问题转化成了一个二维偏序状物。
具体的有点长，懒得写了。
AUOJ1622 小Y的序列
标签：伯努利数，二项式反演
啊就是这么个式子：\(\sum_{j=0}^n j^k=k}-1)/(e^x-1)\)
怎么来的呢，\(j^k=k![x^k]e^{xj}\) 对吧，然后等比数列求和
这个就可以拿来求 \(\sum_{j=0}^n j^k\) ，当 \(k\) 变 \(n\) 不变的时候。
然后我们这个题用容斥的技巧推一下就好了。懒得写了。大概就是一个：
“恰好”和“钦定”间的处理。
gym102155E
标签：FFT
一句话题意就是求 \(\left\lfloor\dfrac{n}{99}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{n}{999}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{n}{9999}\right\rfloor+……\)
\(n\) 是 \(10^{10^5}\) 级别。
这个等于 \(n(10^{-2}+10^{-4}+10^{-6}……)+n(10^{-3}+10^{-6}+10^{-9}……)+……\)
然后我们统计每个 \(10^{-i}\) 出现的次数。
把 \(n\) 和这个卷起来就好了。感觉一开始“这个等于”很关键。
注意小数部分特殊处理。
CF1707D Partial Virtual Trees
标签：前缀和
感觉要是这场打了能涨大了，因为 C 和 D 都是很快想出来的。
但是没用。等下次真打 div1 还是要萎。
那个 \(S1!=S2\) 的限制很反，直接容斥解决。
然后记 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树内活得最久的点在第 \(j\) 棵虚树还存在。
然后转移分两种：
第一种，我们点 \(i\) 活得最久。那剩下的点就直接求个前缀和，再乘起来，很简单的。
第二种：我们点 \(i\) 活得不是最久。我们考虑枚举最久的所在的子树 \(v\)
假装枚举最久时间 \(t\) 和第二久的时间 \(t2\) 这个方案就是 \((t-t2)dp_{v,t}(\prod dp(v2,t2)-\prod dp(v2,t2-1)(v2!=v))\)
发现可以整理一个 \(a_ib_j(i-j)\) 的形式，枚举 \(i\) ，还是能前缀和一下算。
需要注意的是当算 \(dp_1\) 的时候不能算进去第二种情况
铭记前缀和优化
CF1648E Air Reform
标签：kruskal 重构树，启发式合并
啊既然路径权值是所有边的 \(\max\) ，让它最小，我们不难想到用 \(kruskal\) 重构树处理。
把原图的树建出来，这个补图上 \(u\) 和 \(v\) 的边权就变成了两点的 \(lca\) 的权值。
题就是想让你把补图的最小生成树求出来。
我们还是依据 \(kruskal\) 算最小生成树的思路，贪心的尽量取更小的。
于是直接 \(dfs\) 一遍整个树，然后对于一个点 \(x\)，先让 \(ls\) 内 和 \(rs\) 内处理完，再考虑合并。
如果 \(sz_{ls}>sz_{rs}\) 就交换 \(ls\) 和 \(rs\)
然后枚举 \(ls\) 端每一个联通块 \(G1\) ，再枚举内部每一个点 \(x\)，再枚举 \(rs\) 端每一个联通块 \(G2\) ，再枚举内部每一个点 \(y\) ，如果 \(x\) 和 \(y\) 间在原图没边
就直接 merge \(G1\) 和 \(G2\) ，把 \(G2\) 从 \(rs\) 端删去
然后每个 \(G1\) 处理完丢掉 \(rs\) 端去。因为会有两个 \(ls\) 端的联通块，通过一个 \(rs\) 端合并在一起了。要认真处理这种情况。
为啥复杂度是对的。
首先成功匹配的次数是 \(O(n)\) 的。然后不成功匹配的次数怎么算。
一个 \(x\) 会被算多少次。有两种，一种就是直接被枚举到，一种是被丢进 \(rs\) 端后往上，成为了另一个 \(ls\) 。
那这个过程就是 \(O(\log n)\) 的，因为我们进行了 "\(sz_{ls}>sz_{rs}\) 就 \(swap(ls,rs)\)" 的操作。
所以这一部分一共是 \(O(m\log n+n)\) 的。很神奇。启发式合并，很神奇。
P6758 [BalticOI2013] Vim
标签：“线头”dp
挖槽这个太牛逼了。就是把一个序列上反复横跳的路径，我们想象它是一根线，然后在每个点切一刀分成若干段，然后我们考虑顺序的考虑这残破的每一段
在想办法连上线的同时，也统计了答案。我们还可以在每个线上记一些信息。
说到这个题，首先有一个贪心，能看出来每一段是有一根线或三根线的。就是跳，取E，跳，取E，的过程。
于是记 \(f_{i,j}\) 是考虑到了第 \(i\) 段，然后第一根线想跳到后面第一个为 \(j\) 的，然后当前总代价最小值。
\(g_{i,j,k}\) 同理是第一根线跳到 \(j\) ，第三根线跳到 \(k\) 。转移不难，分 10 类讨论。
TOPCODER 14069 BearDestroys
标签：状压dp
(\(n\le 13,m\le 30\) )
挖槽这个也很nb。首先他要求的操作顺序是先按 \(i\)，再按 \(j\)。我们直接状压就是 \(O(nm2^m)\) 的。G。
我们换一个想法。考虑它一个格子 \((i,j)\) ，它的决策只会影响 \((i,j+1)\) ，\((i+1,j)\) ,\((i+1,j-1)\) ,\((i-1,j+1)\) 的决策。
于是我们以先按 \(i+j\) ，再按 \(i\) 的顺序操作。很神奇吧！
再在这个基础上 dp ，复杂度就变成了 \(O(nm2^n)\) 。
gym102586A Cookies
标签：复杂度分析
先把它的题意转化成这样一个过程：
每次添加一个数 \(x\) ，然后从 \(1\) 到 \(n\) 顺次考虑
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\(o_i=1\) ，则 \(b_i>x\) 的情况下要 \(swap(b_i,x)\)
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\(o_i=2\) ，则 \(b_i<x\) 的情况下要 \(swap(b_i,x)\)
最后 \(ans=ans+x\)
那发现连续一段 \(o\) 相等的情况下可以合并，用一个堆维护。\(o_i=1\) 则弹最大的，\(o_i=2\) 则弹最小的。
然后再考虑，设前面一坨 \(o_i=1\) 堆顶为 \(a\) ，后面一坨堆顶为 \(b\)
如果 \(a<b\) ，因为此时没法连续刷两个堆，所以无论 \(x\) 取何值，这俩堆的顺序都不重要了。
于是可以交换它俩，再和两边的堆合并。反之同理。
如果 \(a>=b\) ，考虑两个堆在 \([b,a]\) 间的数的个数。
发现每次起码要减1。于是直接跑，复杂度是对的。
怎么想到的呢。我觉得得把这些情况讨论好，才能发现这些性质吧。
比赛总结
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打了两场 div2,一场 div1。都打挺好的。只是 EDU 因为开场没做出来C，心态暴躁，吃了很多罚时，以后要稳住。
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打了一场 ABC，打得很垃圾。G和H都不难啊，G那个转移方法和所谓“斯坦纳树”有点像，不该想不到。
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打了两场多校。贡献为负吧，只会做简单题，还半天调不出来。感觉没有偶环就是仙人掌，这个性质很有趣，记录一下。
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打了两场模拟赛。全是套路题，除了那个“线头”dp。我欧拉路径都能求挂，要注意到欧拉路径的起点有两种情况，一种进化成回路，则出-入=0，一种出-入=1
就写这么多。暑假还有5周（可能只有4周？疫情结束就要回去whk？），状态得好起来。
