约数之和

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/873/

给定 n 个正整数 a_i，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 a_i。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 10⁹+7 取模。

 

算法思路：

任意一个数x，都可以唯一分解分解为如下形式：x = p₁^k₁ p₂^k₂ p₃^k₃...p_n^k_n

其中p₁, p₂, p₃, p_n都为质数，那么x的所有约数之和可以表示为(1+p₁+p₁²+...+p₁^k₁)(1+p₂+p₂²+...+p₂^k₂)...(1+p_n+p_n²+...+p_n^k_n)

 

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int MOD = 1e9 + 7;

unordered_map<int, int> primes;

int main()
{
    int n;
    LL res = 1;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int i=2;i<=x/i;i++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x = x / i;
                primes[i]++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x]++;
    }
    
    for(auto& [k, v]: primes)
    {
        LL s = 1;
        while(v--)
        {
            s = (s * k + 1) % MOD;
        }
        res = (res * s) % MOD;
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}