特征向量与特征值

在看线性代数这一部分的时候，真是一头雾水。虽然明白了特征值和特征向量的求法，但总觉得没有用。在《理解矩阵》一文中，虽然提到了这与矩阵的本质有关，但并未详细提及，但我知道了一定具有一定的几何意义。

后来，查看了《特征向量的几何意义》一文，才明白了。特别是wikipedia中关于《特征向量》的文章，终于对特征向量有了一点认识。

      

因为l是常数，所以lx与x的方向相同。即，一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。

下图是从wikipedia的《特征向量》一文中引用的。通过这个图可以对变与不变有一个进一步的了解。

图1. 在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了，但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们构成这个特征值的特征空间。

 

在wikipedia的《特征向量》一文中还提到了一个地球旋转的例子，旋转本身是一种线性变化，出来在旋转轴上的向量之外，所有从地心指向地表的向量的方向都变了。在旋转轴上的向量的向量就是这个线性变化的特征向量。

 

说到这我想很多人应该明白了，矩阵是一种线性变化，特征向量就是在这个变化当中不变的向量。说白了就是在变化当中寻找不变的东西。这不就是很多学科研究的内容吗？

 

关于这个主题的更多内容可以参考《漫谈高数(四) 特征向量物理意义》一文，该文对这个主题做了一个深入浅出的解释，是一篇比较好的文章。