PCA原理(转)

下面我就对PCA做一个简单的介绍吧：

       PCA是主成分分析，主要用于数据降维，对于一系列sample的feature组成的多维向量，多维向量里的某些元素本身没有区分性，比如某个元素在所有的sample中都为1，或者与1差距不大，那么这个元素本身就没有区分性，用它做特征来区分，贡献会非常小。所以我们的目的是找那些变化大的元素，即方差大的那些维，而去除掉那些变化不大的维，从而使feature留下的都是“精品”，而且计算量也变小了。

       对于一个k维的feature来说，相当于它的每一维feature与其他维都是正交的（相当于在多维坐标系中，坐标轴都是垂直的），那么我们可以变化这些维的坐标系，从而使这个feature在某些维上方差大，而在某些维上方差很小。例如，一个45度倾斜的椭圆，在第一坐标系，如果按照x,y坐标来投影，这些点的x和y的属性很难用于区分他们，因为他们在x,y轴上坐标变化的方差都差不多，我们无法根据这个点的某个x属性来判断这个点是哪个，而如果将坐标轴旋转，以椭圆长轴为x轴，则椭圆在长轴上的分布比较长，方差大，而在短轴上的分布短，方差小，所以可以考虑只保留这些点的长轴属性，来区分椭圆上的点，这样，区分性比x,y轴的方法要好！

       所以我们的做法就是求得一个k维特征的投影矩阵，这个投影矩阵可以将feature从高维降到低维。投影矩阵也可以叫做变换矩阵。新的低维特征必须每个维都正交，特征向量都是正交的。通过求样本矩阵的协方差矩阵，然后求出协方差矩阵的特征向量，这些特征向量就可以构成这个投影矩阵了。特征向量的选择取决于协方差矩阵的特征值的大小。

        举一个例子：

         对于一个训练集，100个sample，特征是10维，那么它可以建立一个100*10的矩阵，作为样本。求这个样本的协方差矩阵，得到一个10*10的协方差矩阵，然后求出这个协方差矩阵的特征值和特征向量，应该有10个特征值和特征向量，我们根据特征值的大小，取前四个特征值所对应的特征向量，构成一个10*4的矩阵，这个矩阵就是我们要求的特征矩阵，100*10的样本矩阵乘以这个10*4的特征矩阵，就得到了一个100*4的新的降维之后的样本矩阵，每个sample的维数下降了。

当给定一个测试的特征集之后，比如1*10维的特征，乘以上面得到的10*4的特征矩阵，便可以得到一个1*4的特征，用这个特征去分类。

       所以做PCA实际上是求得这个投影矩阵，用高维的特征乘以这个投影矩阵，便可以将高维特征的维数下降到指定的维数。

        在opencv里面有专门的函数，可以得到这个这个投影矩阵（特征矩阵）。

void cvCalcPCA( const CvArr* data, CvArr* avg, CvArr* eigenvalues, CvArr* eigenvectors, int flags );